Como ya hemos resuelto ecuaciones con paréntesis en el Nivel 3 y ecuaciones con fracciones en el Nivel 4, en el Nivel 5 vamos a resolver ecuaciones con paréntesis y con fracciones.
Como este nivel es el más alto que tenemos de ecuaciones (el siguiente es únicamente de problemas), la dificultad de las ecuaciones es considerablemente mayor que en los niveles anteriores. No obstante, intentaremos ordenar las ecuaciones de menor a mayor dificultad.
Resolveremos un total de 13 ecuaciones, de las cuales las últimas 3 son muy largas. También resolveremos 5 problemas en último apartado.
Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:
Nota: por su sencillez y comodidad, vamos a simplificar las ecuaciones eliminando todos los denominadores.
Nota 2: se requiere saber calcular el mínimo común múltiplo y simplificar fracciones.
Como calentamiento, en la primera ecuación sólo hay fracciones y en la segunda sólo hay paréntesis.
$$ \frac{3x-4}{3} + \frac{2-3x}{2} = \frac{1-x}{4} $$
Como la ecuación tiene fracciones, multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (3, 2 y 4) para que desaparezcan.
Multiplicamos la ecuación por 12:
$$ 12\cdot \frac{3x-4}{3} + 12\cdot \frac{2-3x}{2} = 12\cdot \frac{1-x}{4} $$
Simplificamos:
$$ 4(3x-4) + 6(2-3x) = 3(1-x) $$
Calculamos los productos:
$$ 12x -16 + 12 -18x = 3 -3x $$
Resolvemos:
$$ -6x -4 = 3 -3x $$
$$ -4 -3 = 6x -3x $$
$$ -7 = 3x $$
El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x= -\frac{7}{3} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{7}{3} \).
$$ 3(1-2(1-x)) = 2x-(x-(1-x)) $$
En esta ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros). Primero eliminaremos los de dentro y después los otros.
Comenzamos por el paréntesis interior del lado izquierdo. Para eliminarlo, multiplicamos su contenido por el coeficiente -2 (no olvidéis el signo negativo):
$$ 3(1-2+2x) = 2x-(x-(1-x)) $$
Simplificamos el interior del paréntesis de la izquierda:
$$ 3(-1 +2x ) = 2x-(x-(1-x)) $$
Eliminamos el paréntesis interior del lado derecho cambiando el signo de sus sumandos (porque tiene un signo negativo delante):
$$ 3(-1+2x) = 2x-(x-1+x) $$
$$ 3(-1+2x) = 2x-(2x-1) $$
En el lado izquierdo, multiplicamos por 3 el contenido del paréntesis:
$$ -3 +6x = 2x-(2x-1) $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ -3 +6x = 2x -2x+1 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ -3 +6x = 1$$
$$ 6x = 1+3$$
$$ 6x = 4 $$
El coeficiente 6 de la incógnita pasa dividiendo:
$$ x = \frac{4}{6} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{2}{3} $$
La fracción no puede simplificarse más.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{2}{3} \).
$$ x +\frac{2}{3}\cdot (5-x) = 2x $$
Multiplicamos la ecuación por el único denominador que hay (3):
$$ 3\cdot x +3\cdot \frac{2}{3}\cdot (5-x) = 3\cdot 2x $$
Simplificamos:
$$ 3x + 2(5-x) = 6x $$
Eliminamos el paréntesis:
$$ 3x + 10 -2x = 6x $$
$$ x + 10 = 6x$$
$$ 10 = 6x-x $$
$$ 10 = 5x $$
Despejamos la incógnita:
$$ x = \frac{10}{5} $$
$$ x = 2 $$
La solución de la ecuación es \( x = 2\).
$$ 1-\frac{3}{2}\left( x-\frac{1}{3}\right) = 6x $$
Tenemos dos fracciones, pero como una de ellas está dentro del paréntesis, vamos a multiplicar por el denominador de la fracción que no está en el paréntesis.
Multiplicamos por 2:
$$ 2\cdot 1-2\cdot \frac{3}{2}\left( x-\frac{1}{3}\right) = 2\cdot 6x $$
Simplificamos:
$$ 2 -3\left( x -\frac{1}{3}\right) = 12x $$
Observad que ha desaparecido el denominador (el numerador no).
Como el paréntesis tiene el coeficiente -3, multiplicamos su contenido por -3 y lo eliminamos:
$$ 2 -3x + 3\cdot \frac{1}{3} = 12x $$
Observad que hemos cambiado los signos al multiplicar.
La fracción desaparece al multiplicarla por 3:
$$ 2-3x + 1 = 12x $$
$$ 3-3x = 12x $$
$$ 3 = 12x+3x$$
$$ 3 = 15x $$
El 15 pasa dividiendo:
$$ x = \frac{3}{15} $$
Simplificamos:
$$ x = \frac{1}{5} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{5} \).
$$ 2\left( x - 3\left( 1-\frac{3x}{5}\right) \right) = 2x $$
Tenemos una fracción dentro de un paréntesis, así que lo que hacemos primero es eliminar los paréntesis.
Eliminamos primero el interior multiplicando por su coeficiente -3:
$$ 2\left( x-3+3\cdot\frac{3x}{5} \right) = 2x $$
Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando por 2:
$$ 2x-6+6\cdot\frac{3x}{5} = 2x $$
Multiplicamos la ecuación por 5 para eliminar el denominador:
$$ 5\cdot 2x-5\cdot 6+5\cdot 6\cdot\frac{3x}{5} = 5\cdot 2x $$
Calculamos los productos:
$$ 10x-30 +6\cdot 3x = 10x $$
$$ 10x-30+18x = 10x$$
$$ 28x-30 = 10x$$
$$ 28x-10x = 30$$
$$ 18x = 30 $$
El 18 pasa dividiendo:
$$ x = \frac{30}{18} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{5}{3} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{5}{3} \).
$$ 3\left( \frac{5x}{3}-\left(x - \frac{5}{2} \right) \right) = \frac{7x}{6} $$
Como las fracciones están dentro de los paréntesis, primero vamos eliminando los paréntesis y luego ya nos ocuparemos de las fracciones.
Eliminamos el paréntesis interior cambiando el signo de sus monomios (tiene signo negativo delante):
$$ 3\left( \frac{5x}{3}-x +\frac{5}{2} \right) = \frac{7x}{6} $$
Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando sus monomios por 3:
$$ 3\cdot \frac{5x}{3}-3\cdot x +3\cdot \frac{5}{2} = \frac{7x}{6} $$
Calculamos los productos:
$$ 5x-3x +\frac{15}{2} = \frac{7x}{6} $$
$$ 2x +\frac{15}{2} = \frac{7x}{6} $$
Multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (es 6) para eliminar las fracciones:
$$ 6\cdot 2x +6\cdot \frac{15}{2} =6\cdot \frac{7x}{6} $$
Simplificamos:
$$ 12x + 3\cdot 15 = 7x $$
$$ 12x + 45 = 7x $$
$$ 12x-7x = -45 $$
$$ 5x = -45 $$
El 5 pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = -\frac{45}{5} $$
$$ x = -9 $$
La solución de la ecuación es \( x = -9\).
$$ \frac{1}{5} \left( \frac{5x}{3}- 1\right) = \frac{3x}{10} $$
Como hay dos fracciones que están fuera del paréntesis, multiplicamos la ecuación por el mcm de sus denominadores (no consideramos la fracción de dentro del paréntesis porque a veces desaparece o cambia su denominador al eliminar los paréntesis):
$$ 10\cdot \frac{1}{5} \left( \frac{5x}{3}- 1\right) = 10\cdot \frac{3x}{10} $$
Simplificamos:
$$ 2\left( \frac{5x}{3}- 1\right) = 3x $$
Eliminamos el paréntesis:
$$ 2\cdot \frac{5x}{3} -2 = 3x$$
$$ \frac{10x}{3} -2 = 3x $$
Multiplicamos la ecuación por 3:
$$ 3\cdot \frac{10x}{3} -3\cdot 2 = 3\cdot 3x $$
$$ 10x -6 = 9x $$
$$ 10x -9x = 6 $$
$$ x = 6 $$
La solución de la ecuación es \( x = 6\).
$$ \frac{1}{3} \left( 5-\frac{x-2}{2}\right) = \frac{3x-2}{2} $$
Multiplicamos por el mcm de los denominadores de las dos fracciones de fuera del paréntesis:
$$ 6\cdot \frac{1}{3} \left( 5-\frac{x-2}{2}\right) = 6\cdot \frac{3x-2}{2} $$
Simplificamos:
$$ 2 \left( 5-\frac{x-2}{2}\right) = 3 (3x-2) $$
Eliminamos el paréntesis de la izquierda:
$$ 2 \cdot 5-2\cdot \frac{x-2}{2} = 3(3x-2) $$
Simplificamos:
$$ 10-(x-2) = 3(3x-2) $$
Eliminamos los paréntesis:
$$ 10-x+2 = 9x-6 $$
$$ 12-x = 9x-6 $$
$$ 12+6 = 9x+x$$
$$ 18 = 10x $$
El 10 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{18}{10} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{9}{5} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{9}{5} \).
$$ 1-4\left( \frac{3x-1}{2} - 3(x-1)\right) = \frac{3-2x}{9} $$
Lo primero que haremos es eliminar los paréntesis. Comenzamos por el interior:
$$ 1-4\left( \frac{3x-1}{2} - 3x+3\right) = \frac{3-2x}{9} $$
Eliminamos el paréntesis que queda (no olvidéis el signo negativo):
$$ 1-4\cdot \frac{3x-1}{2} +4\cdot 3x -4\cdot 3 = \frac{3-2x}{9} $$
Calculamos los productos:
$$ 1-2(3x-1) +12x -12= \frac{3-2x}{9} $$
Eliminamos el paréntesis que queda:
$$ 1-6x +2 +12x -12 = \frac{3-2x}{9} $$
Operamos en el lado izquierdo:
$$ 6x -9 = \frac{3-2x}{9} $$
Multiplicamos por 9 la ecuación para eliminar la fracción:
$$ 9\cdot 6x -9\cdot 9 = 9\cdot \frac{3-2x}{9} $$
Operamos:
$$ 54x -81 = 3-2x $$
$$ 54x +2x = 3+81 $$
$$ 56x = 84 $$
El 56 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{84}{56} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{3}{2} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{3}{2} \).
$$ 1-\left( \frac{3x-1}{2} - \frac{3x-1}{3}\right) = x $$
Eliminamos el paréntesis:
$$ 1-\frac{3x-1}{2} +\frac{3x-1}{3} = x $$
Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):
$$ 6\cdot 1-6\cdot \frac{3x-1}{2} +6\cdot \frac{3x-1}{3} = 6\cdot x $$
Operamos:
$$ 6-3(3x-1) +2(3x-1) = 6x $$
Eliminamos los paréntesis:
$$ 6-9x+3+6x-2 = 6x $$
$$ -3x +7 = 6x $$
$$ 7 = 6x +3x $$
$$ 7 = 9x $$
El 9 pasa dividiendo:
$$ x = \frac{7}{9} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{7}{9} \).
Las siguientes ecuaciones son para los más atrevidos.
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$$ 5-\left( 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) -2 \right) = x $$
Primero eliminamos el paréntesis exterior (sólo tenemos que cambiar el signo de sus sumandos):
\( 5- 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) +2 = x \)
Sumamos el 5 y el 2:
\( 7- 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) = x \)
Pasamos el 7 al otro lado para trabajar luego en el lado izquierdo:
\( - 3\left( \frac{x}{2} +\frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) \right) = x -7 \)
Eliminamos el paréntesis exterior multiplicando sus sumandos por -3:
\( -3\cdot \frac{x}{2} -3\cdot \frac{1}{3}\left( 15x -\frac{4}{3} \right) = x -7 \)
Una fracción desparece (la segunda):
\( -3\cdot \frac{x}{2} -\left( 15x -\frac{4}{3} \right) = x -7 \)
Eliminamos el paréntesis que queda cambiando el signo de sus sumandos:
\( -3\cdot \frac{x}{2} -15x +\frac{4}{3} = x-7 \)
Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):
\( 6\cdot (-3)\cdot \frac{x}{2} -6\cdot 15x +6\cdot \frac{4}{3} = 6\cdot x+6\cdot (-7) \)
Operamos:
\( 3\cdot (-3)\cdot x -90x +2\cdot 4 = 6x-42 \)
Resolvemos:
\( -9x -90x + 8 = 6x-42 \)
\( -99x +8 = 6x-42 \)
\( 8+42 = 6x +99x \)
\( 50 = 105x \)
El 105 pasa dividiendo:
\( x = \frac{50}{105} \)
Simplificamos la fracción:
\( x = \frac{10}{21} \)
La solución de la ecuación es \( x = \frac{10}{21} \).
$$ \frac{x}{3}-\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) \right) = 1 $$
Primero eliminamos el paréntesis exterior:
\( \frac{x}{3}-\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 1 \)
Pasamos las fracciones de fuera del paréntesis al otro lado para trabajar en el lado izquierdo más cómodamente:
\( \frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 1 -\frac{x}{3}+\frac{x}{2} \)
Multiplicamos por 6 la ecuación:
\(6\cdot \frac{1}{3}\left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 6\cdot1 -6\cdot\frac{x}{3}+6\cdot\frac{x}{2} \)
Operamos:
\(2\cdot \left( \frac{2x}{3}-\left( \frac{1}{3}-6x\right) \right) = 6-2x+3x \)
Eliminamos el paréntesis exterior en la izquierda y operamos en la derecha:
\(2\cdot \frac{2x}{3}-2\cdot \left( \frac{1}{3}-6x \right) = 6+x \)
Eliminamos el paréntesis:
\(\frac{4x}{3}-2\cdot \frac{1}{3}+2\cdot 6x = 6+x \)
\(\frac{4x}{3}- \frac{2}{3}+12x = 6+x \)
Multiplicamos por 3 la ecuación:
\( 4x -2 + 36x = 18 +3x \)
\( 40x -2 = 18 +3x \)
\( 37x = 20 \)
\( x = \frac{20}{37} \)
La fracción no se puede simplificar.
La solución de la ecuación es \( x =\frac{20}{37} \).
$$ \frac{2}{5}\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=\frac{5}{10}\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) $$
Simplificamos la fracción que hay delante del paréntesis de la derecha:
\( \frac{2}{5}\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=\frac{1}{2}\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)
El 5 del denominador de la fracción de la izquierda pasa al otro lado multiplicando:
\( 2\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=\frac{5}{2}\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)
El 2 del denominador de la fracción de la derecha pasa al otro lado multiplicando:
\( 4\left( \frac{x-1}{2}-\frac{1-x}{5}\right)=5\left( \frac{2x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}\right) \)
Eliminamos los paréntesis exteriores de ambos lados:
\( 4\cdot \frac{x-1}{2}- 4\cdot\frac{1-x}{5}= 5\cdot\frac{2x-1}{5}- 5\cdot\frac{1-2x}{2} \)
Desparece una fracción en la izquierda y otra en la derecha:
\( 2(x-1)-4\cdot\frac{1-x}{5}= (2x-1)- 5\cdot\frac{1-2x}{2}\)
Multiplicamos la ecuación por 10:
\( 20(x-1)-4\cdot 2(1-x)= 10(2x-1)- 5\cdot 5(1-2x)\)
Operamos en ambos lados.
$$ 20x -20 -8 +8x = 20x -10 -25 +50x$$
$$ 28x -28 = 70x -35 $$
$$ -28 +35 = 70x -28x $$
$$ 7 = 42x $$
$$ x = \frac{7}{42} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{1}{6} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{7}{42} \).
En este apartado resolvemos 5 problemas en los que hay que plantear y resolver una ecuación con fracciones.
En una hucha, el número de monedas de 1€ y el de monedas de 0.5€ son la mitad y la tercera parte del número de monedas de 2€, respectivamente. Si en total hay 132 monedas, ¿cuántas monedas hay de 2€?
Llamamos \(x\) al número de monedas de 2€. Entonces, el número de monedas de 1€ es \(\frac{x}{2}\) y el de monedas de 0.5€ es \( \frac{x}{3}\).
Como el número total de monedas es 132, la ecuación del problema es:
$$ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 132 $$
La multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):
$$ 6\cdot x + 6\cdot \frac{x}{2} +6\cdot \frac{x}{3} = 6\cdot 132 $$
$$ 6x + 3x +2x = 792$$
$$ 11x = 792 $$
El 11 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{792}{11} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = 72 $$
El número de monedas de 2€ es 72.
Una caja contiene bolas blancas, negras y rojas. Si la tercera parte de las bolas son blancas, la quinta parte son negras y hay 14 bolas rojas, ¿cuántas hay en total?
Si \(x\) es el número total de bolas, el número de bolas blancas es \( \frac{x}{3}\) y el de bolas negras es \( \frac{x}{5}\).
Como el número total de bolas es \(x\), tenemos la ecuación
$$ \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + 14 = x $$
Multiplicamos por 15:
$$ 5x + 3x + 210 = 15x$$
$$ 8x + 210 = 15x $$
$$ 210 = 15x-8x $$
$$ 210 = 7x $$
$$ x = \frac{210}{7} $$
$$ x = 30 $$
El número total de bolas es 30.
Andrés es 5 años mayor que Jaime y la mitad de la edad de Jaime es igual a la tercera parte de la edad de Andrés. ¿Qué edad tiene Jaime?
Llamamos \(x\) a la edad de Jaime. Como Andrés es 5 años mayor, su edad es \(x+5\).
La mitad de la edad de Jaime es
$$ \frac{x}{2} $$
Y la tercera parte de la edad de Andrés es
$$ \frac{x+5}{3} $$
La ecuación del problema es
$$ \frac{x}{2} =\frac{x+5}{3} $$
Como tenemos una igualdad entre dos fracciones, pasamos los denominadores multiplicando al otro lado:
$$ 3\cdot x = 2\cdot (x+5) $$
$$ 3x = 2x + 10 $$
$$ 3x-2x = 10 $$
$$ x = 10 $$
Por tanto, Jaime tiene 10 años.
La edad de Alberto es 14 y la de su primo es 22. ¿Cuántos años deben pasar para que las mitades de sus edades sumen 30?
Dentro de \(x\) años, la edad de Alberto será \(14+x\) y la de su primo será \(22+x\). Como la mitad de estas edades tiene que sumar 30,
$$ \frac{14+x}{2} + \frac{22+x}{2} = 30 $$
Podemos sumar las fracciones fácilmente porque tienen el mismo denominador:
$$ \frac{14+x + 22+ x}{2} = 30 $$
$$ \frac{36+2x}{2} = 30 $$
El denominador pasa al otro lado multiplicando:
$$ 36 +2x = 60 $$
$$ 2x = 60-36 $$
$$ 2x = 24 $$
$$ x = \frac{24}{2} $$
$$ x = 12 $$
Deben pasar 12 años.
El triple de la suma de un número con la mitad de su consecutivo es 24. ¿Qué número es?
El número que buscamos es \(x\). Su consecutivo es \(x+1\). La mitad del consecutivo de \(x\) es
$$ \frac{x+1}{2} $$
El triple de la suma de los dos números es 24:
$$ 3\cdot \left( x+\frac{x+1}{2} \right) = 24$$
Eliminamos el paréntesis multiplicando sus sumandos por 3:
$$ 3x + 3\cdot \frac{x+1}{2} = 24 $$
Multiplicamos la ecuación por 2 para eliminar la fracción:
$$ 6x + 3(x+1) = 48 $$
$$ 6x +3x +3 = 48 $$
$$ 9x + 3 = 48 $$
$$ 9x = 48-3 $$
$$ 9x = 45 $$
$$ x = \frac{45}{9} $$
$$ x = 5 $$
El número buscado es 5.
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