Dedicamos este nivel exclusivamente a las ecuaciones de primer grado con fracciones. Comenzaremos recordando el producto y el cociente de fracciones y después resolveremos 25 ecuaciones y 10 problemas.
Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:
Nota: por su sencillez y comodidad, vamos a simplificar las ecuaciones eliminando todos los denominadores.
Nota 2: se requiere saber calcular el mínimo común múltiplo y simplificar fracciones.
En este apartado recordamos el producto y el cociente de dos fracciones. No olvidéis que el numerador de la fracción \(\frac{a}{b}\) es \(a\) y el denominador es \(b\).
El producto de las fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \) es la fracción \( \frac{a\cdot c}{b \cdot d} \), es decir,
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
El cociente (multiplicación) de las fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \) es la fracción \( \frac{a\cdot d}{b \cdot c} \), es decir,
$$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
O bien,
$$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
A la hora de resolver las ecuaciones, tened en cuenta que una fracción se puede escribir de varias formas, por ejemplo:
$$ \frac{3x}{2} = \frac{3\cdot x}{2} =$$
$$ = \frac{3}{2}\cdot x = x\cdot \frac{3}{2}$$
En este apartado resolvemos 10 ecuaciones que tienen fracciones con denominador común. Como el denominador es común, multiplicamos toda la ecuación por el denominador (multiplicamos todos los sumandos). De esta forma, desaparecen los denominadores.
Hay dos fracciones que tienen el mismo denominador (es 2) y hay un monomio que no tiene denominador (\(5x\)).
Multiplicamos la ecuación por el denominador común (2):
$$ 2\cdot \frac{3}{2} + 2\cdot 5x = 2\cdot \frac{5x}{2} $$
En los monomios donde hay fracciones desaparecen los 2’s (porque están multiplicando y dividiendo):
$$ 3 + 2\cdot 5x = 5x $$
Observad que se conservan los numeradores donde había fracciones y se multiplica por el denominador común donde no las había.
Ahora ya sabemos resolver la ecuación:
$$ 3 + 10x = 5x $$
$$ 3 + 10x -5x = 0 $$
$$ 3+5x = 0 $$
$$ 5x = -3 $$
El 5 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = - \frac{3}{5} $$
La fracción no se puede simplificar (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5}\).
Multiplicamos todos los sumandos por el denominador común (5):
$$ 5\cdot \frac{2x}{5} - 5\cdot \frac{1}{5} = 5\cdot \frac{6x}{5} $$
No olvidéis el signo negativo del segundo monomio.
Simplificamos:
$$ 2x – 1 = 6x $$
Resolvemos:
$$ -1 = 6x -2x $$
$$ -1 = 4x $$
El coeficiente 4 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{1}{4} $$
La fracción no puede simplificarse más (ya es irreductible porque el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{4}\).
Multiplicamos por el denominador común (7):
$$ 7\cdot 6\cdot \frac{x}{7} +7\cdot \frac{3}{7}\cdot x = 7\cdot \frac{3}{7} $$
Simplificamos:
$$ 6x + 3x = 3 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 9x = 3 $$
El coeficiente 9 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{3}{9} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{1}{3} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{3}\).
Multiplicamos por el denominador común (3):
$$ 3\cdot x - 3\cdot \frac{2x}{3} =3\cdot \frac{x}{3}$$
Simplificamos:
$$ 3x – 2x = x $$
Resolvemos:
$$ x = x $$
$$ 0 = 0 $$
Como vimos en el Nivel 2, obtener una igualdad verdadera significa que la ecuación tiene infinitas soluciones:
$$ x \in \mathbb{R} $$
Multiplicamos por el denominador común (2):
$$ 2\cdot 6x = 2\cdot \frac{9x}{2} -2\cdot \frac{7}{2} $$
Simplificamos:
$$ 12x = 9x -7 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 12x -9x = -7 $$
$$ 3x = -7 $$
El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x= -\frac{7}{3} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{7}{3}\).
Observad que los numeradores de dos fracciones no son sólo números.
Multiplicamos por el denominador común (3):
$$ 3\cdot \frac{5x+2}{3} -3\cdot \frac{2x}{3}=3\cdot \frac{3-x}{9}$$
Simplificamos:
$$ (5x +2) -2x = (3-x)$$
Hemos escrito paréntesis para que se vea claro que son los numeradores que teníamos en las fracciones.
Resolvemos la ecuación:
$$ 5x +2 -2x = 3 -x$$
$$ 3x +2 = 3 -x$$
$$ 3x +x = 3 -2 $$
$$ 4x = 1 $$
El coeficiente 4 pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{1}{4} $$
La fracción no puede simplificarse más.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{1}{4} \).
Multiplicamos por el denominador común (5):
$$ 5\cdot \frac{3x+5}{5}- 5\cdot \frac{2x+6}{5} = 5\cdot x$$
Simplificamos:
$$ (3x+5) –(2x+6) = 5x $$
Observad que en esta ecuación los paréntesis son importantes porque hay uno que tiene un signo negativo delante. No es lo mismo \(-(2x+6)\) que \(-2x+6\).
Resolvemos la ecuación:
$$ 3x + 5 -2x -6 = 5x $$
$$ x -1 = 5x $$
$$ -1 = 4x $$
El 4 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{1}{4} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{4} \).
Multiplicamos por el denominador común (5):
$$ 5\cdot x - 5\cdot \frac{2x}{5}= 5\cdot \frac{3x}{5} + 5\cdot 1$$
Simplificamos:
$$ 5x – 2x = 3x + 5$$
$$ 3x = 3x +5 $$
$$ 3x- 3x = 5 $$
$$ 0 = 5 $$
Como vimos en el Nivel 2, obtener una igualdad falsa significa que la ecuación no tiene solución.
Multiplicamos por el denominador común (3):
$$ 3\cdot \frac{1-x}{3} = 3\cdot 1-3\cdot \frac{2x-5}{3}$$
Simplificamos:
$$ (1-x) = 3 – (2x -5) $$
Resolvemos:
$$ 1 -x = 3 -2x +5 $$
$$ 1 -x = 8 -2x $$
$$ 2x -x = 8-1$$
$$ x = 7 $$
La solución de la ecuación es \( x = 7\).
Multiplicamos por el denominador común (6):
$$ 6\cdot x -6\cdot \frac{2-x}{6} = 6\cdot \frac{x+2}{6}$$
Simplificamos:
$$ 6x -(2-x) = (x+2) $$
Resolvemos:
$$ 6x -2+x = x+2 $$
$$ 7x = x+2+2 $$
$$ 7x-x = 4 $$
$$ 6x = 4 $$
El coeficiente 6 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x=\frac{4}{6} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{2}{3} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{2}{3} \).
En este apartado resolvemos 15 ecuaciones con fracciones con denominadores distintos. Para eliminar las fracciones multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de éstos.
¿Por qué el mcm de los denominadores? Porque el mcm es un múltiplo de los denominadores y, por tanto, al dividir el mcm entre los denominadores se obtienen números enteros (no decimales).
Si os preguntáis si se puede multiplicar por otro número para que los denominadores desaparezcan, la respuesta es sí. Nosotros escogemos el mcm por tres razones:
es el menor número que hace que desaparezcan los denominadores,
es más elegante y
por convenio (así todos lo hacemos igual).
Nota: recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponer los números como productos de potencia de primos para escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.
El mcm de los denominadores es 15. Multiplicamos por 15 la ecuación:
$$ 15\cdot \frac{3x}{5} = 15\cdot 1 + 15\cdot \frac{2x}{3} $$
Simplificamos: donde hay fracciones, eliminamos el denominador y en lugar de escribir 15 multiplicando, debemos escribir el resultado de la división 15 entre el denominador:
$$ 3\cdot 3x = 15 + 5\cdot 2x $$
Observad que hemos escrito 3 multiplicando a la fracción de la izquierda ya que
$$ 15\cdot \frac{3x}{5} = \frac{15\cdot 3x}{5} = $$
$$ = \frac{3\cdot 5\cdot 3x}{5} = 3\cdot 3x$$
Y 5 en la de la derecha porque
$$ 15\cdot \frac{2x}{3} = \frac{15\cdot 2x}{3} = $$
$$ = \frac{3\cdot 5\cdot 2x}{3} = 5\cdot 2x$$
Continuamos resolviendo la ecuación:
$$ 9x = 15+10x $$
$$ 9x-10x = 15 $$
$$ -x = 15 $$
$$ x = -15 $$
La solución de la ecuación es \( x = -15 \).
Multiplicamos por el mcm de 3 y 2 (es 6):
$$ 6\cdot x -6\cdot \frac{4}{3} = 6\cdot \frac{3x}{2}$$
Simplificamos:
$$ 6x -2\cdot 4 = 3\cdot 3x $$
Resolvemos:
$$ 6x -8 = 9x $$
$$ -8 = 9x-6x $$
$$ -8 = 3x $$
El coeficiente 3 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{8}{3} $$
La fracción no se puede simplificar.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{8}{3} \).
Como tenemos 3 denominadores (2, 5 y 3), tenemos que calcular el mcm de los tres denominadores. Al ser números primos, su mcm es su producto: 30.
Multiplicamos la ecuación por 30:
$$ 30\cdot \frac{1}{2} -30\cdot \frac{2x}{5} = 30\cdot \frac{x}{3}$$
Simplificamos las fracciones:
$$ 15\cdot 1 -6\cdot 2x = 10\cdot x $$
Resolvemos:
$$ 15 -12x = 10x $$
$$ 15 = 10x +12x $$
$$ 15 = 22x $$
El coeficiente 22 de la incógnita pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{15}{22} $$
La fracción no se puede simplificar.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{15}{22} \).
Tenemos tres denominadores: 2, 3 y 9 y su mcm es 18.
Multiplicamos por 18:
$$ 18\cdot \frac{x}{2}-18\cdot \frac{2}{3} = 18\cdot \frac{x}{9}$$
Simplificamos:
$$ 9\cdot x -6\cdot 2 = 2\cdot x $$
Resolvemos:
$$ 9x -12 = 2x $$
$$ 9x -2x = 12 $$
$$ 7x = 12 $$
El 7 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{12}{7} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{12}{7} \).
Los denominadores son 6, 4 y 3 y su mcm es 12.
Multiplicamos la ecuación por 12:
$$ 12\cdot \frac{2x}{6}+12\cdot \frac{3x}{4} = 12\cdot \frac{2x}{3}$$
Simplificamos:
$$ 2\cdot 2x + 3\cdot 3x = 4\cdot 2x $$
Resolvemos:
$$ 4x + 9x = 8x $$
$$ 13x = 8x $$
$$ 13x -8x = 0 $$
$$ 5x = 0 $$
El 5 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{0}{5} $$
$$ x = 0 $$
La solución de la ecuación es \( x = 0 \).
Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6, 10 y 15), que es 30:
$$ 30\cdot \frac{5x}{6}+30\cdot \frac{3}{10} = 30\cdot \frac{5x}{15}$$
Simplificamos:
$$ 5\cdot 5x + 3\cdot 3 = 2\cdot 5x $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 25x + 9 = 10x $$
$$ 25x -10x = -9 $$
$$ 15x = -9 $$
El 15 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{9}{15} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = - \frac{3}{5} $$
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5} \).
Los denominadores son 2, 20 y 4 y su mcm es 20.
Multiplicamos por 20 la ecuación:
$$ 20\cdot \frac{x}{2}-20\cdot \frac{3x}{20} = 20\cdot \frac{5}{4}$$
Simplificamos:
$$ 10\cdot x -1\cdot 3x = 5\cdot 5 $$
Resolvemos:
$$ 10x -3x = 25 $$
$$ 7x = 25 $$
El coeficiente 7 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x= \frac{25}{7} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{25}{7} \).
Tenemos cuatro denominadores: 11, 2, 4 y 22. Su mcm es 44.
Multiplicamos por 44:
$$ 44\cdot \frac{x}{11}-44\cdot \frac{x}{2} = 44\cdot \frac{3x}{4} -44\cdot \frac{5}{22}$$
Simplificamos:
$$ 4\cdot x -22\cdot x = 11\cdot 3x -2\cdot 5 $$
Resolvemos:
$$ 4x -22x = 33x -10 $$
$$ -18x = 33x -10$$
$$ 10 = 33x + 18x $$
$$ 10 = 51x $$
El coeficiente 51 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{10}{51} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{10}{51} \).
El mcm de los denominadores (2 y 4) es 4.
Multiplicamos por 4:
$$ 4\cdot x+4\cdot \frac{3x+2}{2} = 4\cdot \frac{1+x}{4} $$
Simplificamos (no olvidéis los paréntesis):
$$ 4\cdot x + 2\cdot (3x+2) = 1\cdot (1+x) $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 4x + 6x + 4 = 1 +x $$
$$ 10x + 4 = 1+x $$
$$ 9x = -3 $$
El 9 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{3}{9} $$
Simplificamos las fracción:
$$ x= -\frac{1}{3} $$
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{1}{3} \).
Esta ecuación la vamos a resolver de otro modo ya que tenemos una igualdad entre dos fracciones. Lo que haremos es pasar los denominadores multiplicando al otro lado:
El 5 que divide en la izquierda lo pasamos multiplicando a la derecha:
$$ 4x -5 = 5\cdot \frac{5x -3}{4} $$
Observad que ha desparecido un denominador.
El 4 que divide en la derecha lo pasamos multiplicando a la izquierda (no olvidéis los paréntesis):
$$ 4\cdot (4x-5) = 5\cdot (5x-3) $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 4\cdot 4x -4\cdot 5 = 5\cdot 5x -5\cdot 3 $$
$$ 16x -20 = 25x - 15$$
$$ -20 +15 = 25x -16x$$
$$ -5 = 9x $$
El 9 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{5}{9} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{5}{9} \).
El mcm de los denominadores es 12.
Multiplicamos por 12:
$$ 12\cdot \frac{x-3}{3} = 12\cdot x - 12\cdot \frac{x+3}{4} $$
Simplificamos:
$$ 4\cdot (x-3) = 12x – 3\cdot (x+3) $$
Resolvemos:
$$ 4x -12 = 12x -3x -9 $$
$$ 4x -12 = 9x -9$$
$$ -12 +9 = 9x -4x$$
$$ -3 = 5x $$
El 5 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = -\frac{3}{5} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = -\frac{3}{5} \).
El mcm de los denominadores (9, 18 y 6) es 18.
Multiplicamos por 18:
$$ 18\cdot \frac{x-2}{9} = 18\cdot \frac{5x-9}{18} -18\cdot \frac{3-2x}{6} $$
Simplificamos:
$$ 2\cdot (x-2) = 1\cdot (5x-9) -3\cdot (3-2x) $$
Resolvemos:
$$ 2x -4 = 5x -9 -9 +6x$$
$$ 2x -4 = 11x -18 $$
$$ 18-4 = 11x -2x$$
$$ 14 = 9x $$
El 9 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{14}{9} $$
La fracción se no puede simplificar.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{14}{9}\).
El mcm de los denominadores (33, 3 y 6) es 66.
Multiplicamos por 66:
$$ 66\cdot \frac{6x-8}{33} = 66\cdot \frac{x-2}{3} - 66\cdot \frac{1-5x}{6} $$
Simplificamos:
$$ 2\cdot (6x -8) = 22\cdot (x-2) -11\cdot (1-5x)$$
Resolvemos:
$$ 12x -16 = 22x -44 -11 +55x$$
$$ 12x -16= 77x -55$$
$$ 55 - 16 = 77x -12x$$
$$ 39 = 65x $$
El 65 pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{39}{65} $$
Simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{3}{5} $$
La solución de la ecuación es \( x = \frac{3}{5}\).
Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (20):
$$ 20\cdot \frac{x-3}{2} -20\cdot \frac{3x-2}{5} = 20\cdot \frac{1-5x}{4} $$
Simplificamos:
$$ 10\cdot (x-3) -4\cdot (3x-2) = 5\cdot (1-5x) $$
Resolvemos:
$$ 10x -30 -12x + 8 = 5 -25x $$
$$ -2x -22 = 5 -25x$$
$$ 25x -2x = 5 + 22 $$
$$ 23x = 27$$
El 23 pasa dividiendo:
$$ x= \frac{27}{23} $$
La fracción no se puede simplificar.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{27}{23}\).
Multiplicamos por el mcm de los denominadores (180):
$$ 180\cdot \frac{1-3x}{12} = 180\cdot \frac{2x -3}{5} - 180\cdot \frac{7-5x}{9} $$
Simplificamos:
$$ 15\cdot (1-3x) = 36\cdot (2x-3) -20\cdot (7 -5x) $$
$$ 15 -45x = 72x -108 -140 + 100x$$
Resolvemos:
$$ 15 -45x = 172x -248$$
$$ 15 + 248 = 172x +45x $$
$$ 263 = 217x$$
El coeficiente 217 pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{263}{217} $$
La fracción no puede simplificarse.
La solución de la ecuación es \( x = \frac{263}{217} \).
En este apartado resolvemos 10 problemas en los que tendremos que plantear (y resolver) ecuaciones de primer grado con fracciones.
La suma de la mitad y de la tercera parte de un número es 65. ¿Qué número es?
La incógnita \(x\) es el número que buscamos. Su mitad es \( \frac{x}{2} \) y su tercera parte es \( \frac{x}{3} \). Como su suma tiene que ser 65, tenemos la ecuación
$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} =65 $$
Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6):
$$ 6\cdot \frac{x}{2} + 6\cdot \frac{x}{3} =6\cdot 65 $$
Simplificamos:
$$ 3\cdot x + 2\cdot x = 390 $$
$$ 5x = 390 $$
El 5 pasa dividiendo:
$$ x = \frac{390}{5}$$
$$ x = 78 $$
El número es 78.
Si la suma del doble de un número con la tercera parte de dicho número es 42, ¿qué número es?
La incógnita \(x\) es el número que buscamos. Su doble es \(2x\) y su tercera parte es \( \frac{x}{3} \). Como su suma tiene que ser 42, tenemos la ecuación
$$ 2x + \frac{x}{3} = 42$$
Multiplicamos por 3:
$$ 3\cdot 2x + 3\cdot \frac{x}{3} = 3\cdot 42 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 6x + x = 126$$
$$ 7x = 126 $$
$$ x = \frac{126}{7} $$
$$ x = 18 $$
El número es 18.
¿Cuál es el número tal que al sumarle la mitad de su consecutivo se obtiene 23?
Recordad que el consecutivo de \(x\) es \(x+1\). Por tanto, su mitad es
$$ \frac{x+1}{2} $$
La ecuación del problema es
$$ x + \frac{x+1}{2} = 23 $$
La multiplicamos por 2 y resolvemos:
$$ 2x + 2\cdot \frac{x+1}{2} = 2\cdot 23 $$
$$ 2x + (x+1) = 46 $$
$$ 3x +1 = 46 $$
$$ 3x = 45 $$
$$ x = \frac{45}{3} $$
$$ x = 15 $$
El número es 15.
Calcular el número tal que el resultado de sumarle 1 al doble de su tercera parte es 19.
La tercera parte de \(x\) es \(\frac{x}{3}\) y el doble de éste es \( 2\cdot \frac{x}{3} \).
La ecuación del problema es
$$ 1 + 2\cdot \frac{x}{3} = 19 $$
Multiplicamos por 3 y resolvemos:
$$ 3 + 3\cdot 2\cdot \frac{x}{3} = 19\cdot 3 $$
$$ 3 + 2x = 57 $$
$$ 2x = 57-3 $$
$$ 2x = 54 $$
$$ x = \frac{54}{2} $$
$$ x = 27 $$
El número es 27.
Si Alberto tiene 14 años, ¿cuántos años deben transcurrir para que la tercera parte de su edad sea igual al número de años transcurrido?
Dentro de \(x\) años, la edad de Alberto será \(14+x\). La tercera parte de su edad será
$$ \frac{14+x}{3}$$
Esta cantidad debe ser igual al número \(x\) de años que habrán transcurrido:
$$ \frac{14+x}{3} = x $$
Multiplicamos por 3 y resolvemos la ecuación:
$$ 3\cdot \frac{14+x}{3} = 3\cdot x $$
$$ 14+x = 3x $$
$$ 14 = 3x -x $$
$$ 14 = 2x $$
$$ x = \frac{14}{2} $$
$$ x = 7 $$
Deben transcurrir 7 años.
Calcular \(x\) para que la suma de la mitad de \(x\) y de la tercera parte de \(x\) sea \(2x -14\).
La mitad de \(x\) es \( \frac{x}{2} \) y la tercera parte de \(x\) es \( \frac{x}{3} \).
La ecuación del problema es
$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 2x -14 $$
Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):
$$ 6\cdot \frac{x}{2} +6\cdot \frac{x}{3} = 6\cdot 2x -6\cdot 14 $$
$$ 3\cdot x + 2\cdot x = 12x – 84 $$
$$ 5x = 12x -84 $$
$$ 84 = 12x -5x $$
$$ 84 = 7x $$
$$ x = \frac{84}{7} $$
$$ x = 12 $$
Calcular la edad de Anabel sabiendo que tiene 2 años más que Isabel y que la resta de la mitad de la edad de Anabel menos la tercera parte de la edad de Isabel es 4.
La incógnita es \(x\) (edad de Anabel). Como es 2 años mayor que Isabel, la edad de Isabel es \(x-2\).
La mitad de la edad de Anabel es \( \frac{x}{2} \) y la tercera parte de la edad de Isabel es \( \frac{x-2}{3} \).
La ecuación del problema es
$$ \frac{x}{2} - \frac{x-2}{3} = 4 $$
Multiplicamos por el mcm de los denominadores (6):
$$ 6\cdot \frac{x}{2} -6\cdot \frac{x-2}{3} = 6\cdot 4 $$
$$ 3x -2\cdot(x-2) = 24 $$
$$ 3x -2x + 4 = 24 $$
$$ x = 24-4 $$
$$ x = 20 $$
La edad de Anabel es 20.
Calcular un número sabiendo que sus dos cifras suman 12 y que la segunda es la mitad de la primera.
Si \(x\) es la primera cifra, entonces la segunda es \( \frac{x}{2} \).
La suma de las cifras es 12:
$$ x + \frac{x}{2} = 12 $$
$$ 2\cdot x + 2\cdot \frac{x}{2} = 2\cdot 12 $$
$$ 2x + x = 24 $$
$$ 3x = 24 $$
$$ x = \frac{24}{3}$$
$$ x = 8 $$
El número de dos cifras es 84.
Calcular la edad de Carlos sabiendo que es 2 años menor que Jaime y que la suma de la cuarta parte de su edad con la mitad de la de Jaime es 13.
La incógnita \(x\) es la edad de Carlos. La edad de Jaime es \( x +2\).
La ecuación del problema es
$$ \frac{x}{4} + \frac{x+2}{2} = 13 $$
Multiplicamos por 4:
$$ 4\cdot \frac{x}{4} + 4\cdot \frac{x+2}{2} = 4\cdot 13 $$
$$ x + 2\cdot (x+2) = 52 $$
$$ x + 2x + 4 = 52 $$
$$ 3x = 48 $$
$$ x = \frac{48}{3} $$
$$ x = 16 $$
La edad de Carlos es 16.
Calcular el parámetro \(a \neq 0\) para que la solución de la ecuación \( \frac{x}{3} -1 = \frac{2}{3\cdot a} \) sea \(x = 4\).
Como la solución de una ecuación debe cumplir dicha ecuación al sustituirla por la incógnita, sustituimos \(x = 4\) en la ecuación del problema:
$$ \frac{4}{3} - 1 = \frac{2}{3\cdot a} $$
Ahora tenemos una ecuación donde el parámetro \(a\) es la incógnita.
Simplificamos el lado izquierdo:
$$ \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cdot a} $$
El 3 de la izquierda pasa multiplicando al otro lado:
$$ 1 = \frac{3\cdot 2}{3\cdot a} $$
Eliminamos los dos 3’s:
$$ 1 = \frac{2}{a} $$
Como \(a\) está dividiendo, pasa multiplicando al otro lado:
$$ a = 2 $$
Por tanto, el parámetro \(a\) debe ser 2 para que la solución del problema sea \(x = 4\).
Sistemas de ecuaciones
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones irracionales
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones logarítmicas
Mínimo común múltiplo
25 ecuaciones resueltas
Más ecuaciones
45 problemas
Más problemas
Porcentajes
Pitágoras
Problemas y Ecuaciones
Logaritmos
Otros temas