Ecuaciones de primer grado

Nivel 4: Ecuaciones con fracciones



Introducción


Dedicamos este nivel exclusivamente a las ecuaciones de primer grado con fracciones. Comenzaremos recordando el producto y el cociente de fracciones y después resolveremos 25 ecuaciones y 10 problemas.

Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:

Nota: por su sencillez y comodidad, vamos a simplificar las ecuaciones eliminando todos los denominadores.

Nota 2: se requiere saber calcular el mínimo común múltiplo y simplificar fracciones.

A. Preliminares


En este apartado recordamos el producto y el cociente de dos fracciones. No olvidéis que el numerador de la fracción \(\frac{a}{b}\) es \(a\) y el denominador es \(b\).

Producto

Cociente

A la hora de resolver las ecuaciones, tened en cuenta que una fracción se puede escribir de varias formas, por ejemplo:

$$ \frac{3x}{2} = \frac{3\cdot x}{2} =$$

$$ = \frac{3}{2}\cdot x = x\cdot \frac{3}{2}$$

B. Fracciones con denominador común


En este apartado resolvemos 10 ecuaciones que tienen fracciones con denominador común. Como el denominador es común, multiplicamos toda la ecuación por el denominador (multiplicamos todos los sumandos). De esta forma, desaparecen los denominadores.



$$ \frac{3}{2} + 5x = \frac{5x}{2} $$

$$ \frac{2x}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6x}{5} $$

$$ 6\cdot \frac{x}{7} + \frac{3}{7}\cdot x = \frac{3}{7} $$

$$ x - \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} $$

$$ 6x = \frac{9x}{2} -\frac{7}{2} $$

¡Atención! En adelante tendremos que escribir paréntesis y luego trabajar con ellos (ya vimos cómo en el Nivel 3).

$$ \frac{5x+2}{3} -\frac{2x}{3}=\frac{3-x}{3} $$

$$ \frac{3x+5}{5}- \frac{2x+6}{5} = x $$

$$ x - \frac{2x}{5}= \frac{3x}{5} + 1 $$

$$ \frac{1-x}{3} = 1-\frac{2x-5}{3} $$

$$ x -\frac{2-x}{6} = \frac{x+2}{6} $$

C. Fracciones con distinto denominador




En este apartado resolvemos 15 ecuaciones con fracciones con denominadores distintos. Para eliminar las fracciones multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de éstos.

¿Por qué el mcm de los denominadores? Porque el mcm es un múltiplo de los denominadores y, por tanto, al dividir el mcm entre los denominadores se obtienen números enteros (no decimales).

Si os preguntáis si se puede multiplicar por otro número para que los denominadores desaparezcan, la respuesta es sí. Nosotros escogemos el mcm por tres razones:

Nota: recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponer los números como productos de potencia de primos para escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

$$ \frac{3x}{5} = 1 + \frac{2x}{3} $$

$$ x -\frac{4}{3} = \frac{3x}{2} $$

$$ \frac{1}{2} -\frac{2x}{5} = \frac{x}{3} $$

$$ \frac{x}{2}-\frac{2}{3} = \frac{x}{9} $$

$$ \frac{2x}{6}+\frac{3x}{4} = \frac{2x}{3} $$

$$ \frac{5x}{6}+\frac{3}{10} = \frac{5x}{15} $$

$$ \frac{x}{2}-\frac{3x}{20} = \frac{5}{4} $$

$$ \frac{x}{11}-\frac{x}{2} = \frac{3x}{4} -\frac{5}{22} $$

$$ x+\frac{3x+2}{2} = \frac{1+x}{4} $$

$$ \frac{4x-5}{5} = \frac{5x-3}{4} $$

$$ \frac{x-3}{3} = x - \frac{x+3}{4} $$

$$ \frac{x-2}{9} = \frac{5x-9}{18} - \frac{3-2x}{6} $$

$$ \frac{6x-8}{33} = \frac{x-2}{3} - \frac{1-5x}{6} $$

$$ \frac{x-3}{2} -\frac{3x-2}{5} = \frac{1-5x}{4} $$

$$ \frac{1-3x}{12} = \frac{2x -3}{5} - \frac{7-5x}{9} $$

D. Problemas


En este apartado resolvemos 10 problemas en los que tendremos que plantear (y resolver) ecuaciones de primer grado con fracciones.

La suma de la mitad y de la tercera parte de un número es 65. ¿Qué número es?

Si la suma del doble de un número con la tercera parte de dicho número es 42, ¿qué número es?

¿Cuál es el número tal que al sumarle la mitad de su consecutivo se obtiene 23?

Calcular el número tal que el resultado de sumarle 1 al doble de su tercera parte es 19.

Si Alberto tiene 14 años, ¿cuántos años deben transcurrir para que la tercera parte de su edad sea igual al número de años transcurrido?

Calcular \(x\) para que la suma de la mitad de \(x\) y de la tercera parte de \(x\) sea \(2x -14\).

Calcular la edad de Anabel sabiendo que tiene 2 años más que Isabel y que la resta de la mitad de la edad de Anabel menos la tercera parte de la edad de Isabel es 4.

Calcular un número sabiendo que sus dos cifras suman 12 y que la segunda es la mitad de la primera.

Calcular la edad de Carlos sabiendo que es 2 años menor que Jaime y que la suma de la cuarta parte de su edad con la mitad de la de Jaime es 13.

Calcular el parámetro \(a \neq 0\) para que la solución de la ecuación \( \frac{x}{3} -1 = \frac{2}{3\cdot a} \) sea \(x = 4\).



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