Este es el primer nivel de ecuaciones de primer grado. Veremos el concepto de ecuación, sus partes y cómo resolver ecuaciones muy sencillas. Después, hablaremos un poco del lenguaje algebraico y resolveremos problemas que requieren el planteamiento de una ecuación.
En este nivel no habrá paréntesis ni fracciones* en las ecuaciones. Los otros niveles son:
Nota *: en alguna ecuación aparece una fracción, pero como coeficiente de la incógnita para aprender a aislarla.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo
$$ x + 1 = 6 $$
La letra \(x\) es la incógnita de la ecuación y representa al número desconocido que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de la ecuación.
La solución de la ecuación anterior es 5 porque al escribir 5 en el lugar de \(x\) se obtiene una igualdad cierta:
$$ 5 + 1 = 6 $$
Una ecuación es de primer grado cuando
Sólo hay una incógnita (normalmente es \(x\)).
La incógnita no tiene exponente. Es decir, siempre aparece como \(x\) y no de otras formas como \(x^2\) ó \(\frac{1}{x}\).
Algunas cosas a tener en cuenta:
La incógnita sí puede ir precedida de un número, por ejemplo, \(2x\), pero este número sólo multiplica a la incógnita: \( 2x\) significa \(2\cdot x\).
En estas ecuaciones sólo tenemos que sumar monomios y escribiros en uno u otro lado de la igualdad para aislar la incógnita.
En las ecuaciones tenemos dos tipos de monomios: números y números acompañados por la incógnita \(x\). Como son distintos, las sumas y las restas deben realizarse por separado.
Puede ser útil considerar que los números sin la \(x\) son peras y los que van acompañados de \(x\) son manzanas. Está claro que no podemos sumar peras y manzanas porque son frutas distintas, pero sí podemos sumar peras con peras y manzanas con manzanas.
Ejemplos:
Podemos sumar \(1\) y \(2\) porque son del mismo tipo (números):
$$ 1+ 2 = 3 $$
1 pera + 2 peras = 3 peras
No podemos sumar \(1\) y \(2x\) porque no son del mismo tipo.
No podemos sumar 1 pera y 2 manzanas.
Podemos sumar \(4x\) y \(3x\) porque son del mismo tipo:
$$ 4x + 3x = 7x $$
4 manzanas + 3 manzanas = 7 manzanas
En el lado izquierdo tenemos los números 3 y -2 que se pueden restar. Los quitamos y escribimos el resultado de la operación:
Hacemos lo mismo en el lado derecho con 3 y 1 (sumando):
Ahora es el momento de cambiar de lado algunos elementos. Dejaremos las incógnitas en el lado izquierdo.
Los elementos que suman en un lado pasan restando al otro y viceversa.
El 1 de la izquierda está sumando, así que lo escribimos en la derecha restando:
Restamos el 4 y el 1 de la derecha:
$$ x = 3$$
Ya hemos resulto la ecuación porque la última igualdad nos dice que la incógnita es 3. La solución de la ecuación es 3.
En el lado izquierdo, el resultado de \(-2+5\) es \(3\); en el lado derecho, el resultado de \(6 - 2\) es \(4\):
Pasamos el 4 restando a la izquierda:
Restamos 3 y 4 en la izquierda:
Tenemos a la izquierda un número y a la derecha la incógnita, pero la incógnita tiene signo negativo. Lo que podemos hacer es pasar cada uno de ellos al otro lado y de este modo la \(x\) no tendrá el signo negativo:
La solución de la ecuación es 1.
$$ 2x +4 + 3x - 1 = 7x - 2 -x$$
En el lado izquierdo sumamos \(2x\) y \(3x\):
En el derecho, sumamos \(7x\) y \(-x\):
En el lado izquierdo sumamos \(4\) y \(-1\):
Pasamos el \(6x\) de la derecha a la izquierda:
Sumamos \(5x\) y \(-6x\):
Pasamos el 2 de la derecha a la izquierda:
En el lado izquierdo sumamos \(3\) y \(2\):
Pasamos la \(x\) a la derecha para que sea positiva:
La solución de la ecuación es 5.
Ya hemos dicho anteriormente que la solución de una ecuación es el número que tiene que valer la incógnita \(x\) para que la igualdad sea verdadera.
Por tanto, una vez calculada la solución, podemos sustituirla por \(x\) en la solución y comprobar si se cumple la igualdad. Si no es así, habremos resuelto mal la ecuación.
Vamos a comprobar las soluciones de las ecuaciones B1, B2 y B3:
\( 3 + x - 2 = 3 + 1 \)
La solución es \(x = 3\).
Sustituimos:
\( 3 + 3 - 2 = 3 + 1 \)
Calculamos las operaciones:
\( 4 = 4 \)
La solución es correcta.
\( -2 + 5 = 6 - x - 2 \)
La solución es \(x = 1\).
Sustituimos:
\( -2 + 5 = 6 - 1 - 2 \)
Calculamos las operaciones:
\( 3 = 3 \)
La solución es correcta.
\( 2x +4 + 3x - 1 = 7x - 2 -x \)
La solución es \(x = -3\).
Sustituimos:
\( 2\cdot 5 +4 + 3\cdot 5 - 1 = 7\cdot 5 - 2 -5 \)
Calculamos las operaciones:
\( 10 +4 + 15 - 1 = 35 -2 -5 \)
\( 28 = 28 \)
La solución es correcta.
Es razonable preguntarse por qué debe cambiarse el signo de un monomio cuando éste cambia de lado. Veamos un ejemplo ilustrativo:
2 manzanas + 1 manzana = 3 manzanas
Si pasamos el monomio “1 manzana” de la izquierda a la derecha tenemos que pasarlo restando para mantener la igualdad:
2 manzanas = 3 manzanas – 1 manzana
Este razonamiento es el mismo que aplicamos en las ecuaciones, tanto para los monomios que suman/restan como los números que multiplican/dividen.
En estas ecuaciones tenemos que dividir entre el coeficiente de la incógnita para obtener la solución. El coeficiente de la incógnita es el número que la acompaña (por ejemplo, 2 es el coeficiente de \(2x\)).
En esta ecuación ya tenemos los monomios con \(x\) en el lado izquierdo y los que no tienen \(x\) en el derecho. Para calcular la solución tenemos que eliminar el 3 que acompaña a la incógnita.
Recordad que el monomio \(3x\) es equivalente al monomio \(3\cdot x\). Como el 3 está multiplicando, pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{21}{3}$$
Calculamos la división:
$$ x = 7 $$
Por tanto, la solución de la ecuación es 7.
Como siempre, lo primero que hacemos es pasar los números a un lado y los monomios con \(x\) al otro.
Pasamos el 4 de la izquierda a la derecha:
$$ 8x = 4x - 4$$
Pasamos el \(4x\) a la izquierda:
$$ 8x - 4x = 4$$
Sumamos los monomios de la izquierda:
$$ 4x = 4$$
La incógnita tiene coeficiente 4. Lo pasamos dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{4}{4}$$
Calculamos la división:
$$ x = 1$$
La solución de la ecuación es \(x = 1\).
Pasamos el 2 a la derecha restando:
$$ -5x = 17 -2 $$
$$ -5x = 15 $$
El coeficiente de la \(x\) es -5. Lo pasamos al otro lado dividiendo (incluido el signo):
$$ x = \frac{15}{-5} $$
$$ x = -3 $$
La solución de la ecuación es \(x = -3\).
Pasamos el 1 restando a la derecha:
$$ -9x = -2-1 $$
$$ -9x = -3 $$
Pasamos el coeficiente -9 de la incógnita a la derecha dividiendo:
$$ x = \frac{-3}{-9} $$
Como la fracción tiene dos signos negativos, se anulan (regla de los signos):
$$ x = \frac{3}{9} $$
Para terminar, simplificamos la fracción:
$$ x = \frac{1}{3} $$
La solución de la ecuación es \(x = \frac{1}{3}\).
$$ \frac{2x}{3}= 4 $$
Si escribimos la fracción como un producto, tenemos
$$ \frac{2}{3}\cdot x = 4 $$
El 2 multiplica a \(x\), así que pasa al otro lado dividiendo:
$$ \frac{1}{3}\cdot x = \frac{4}{2} $$
El 3 divide a \(x\), por lo que pasa al otro lado multiplicando:
$$ x = \frac{4\cdot 3}{2}$$
Calculamos el producto:
$$ x = \frac{12}{2} $$
Calculamos la división:
$$ x = 6 $$
La solución de la ecuación es \(x = 6\).
El lenguaje algebraico es el lenguaje matemático que utiliza números, letras y signos matemáticos (como +, -, ·, etc.). En este apartado vamos a ver la traducción del lenguaje natural (español) al lenguaje algebraico.
A la hora de resolver un problema, tenemos que poder plantear el problema en lenguaje matemático para poder resolverlo. Esto lo haremos en el siguiente apartado.
Si \(x\) es un número, su doble se calcula multiplicándolo por 2. Por tanto, el doble de \(x\) es \(2\cdot x\), que es lo mismo que \(2x\).
Del mismo modo, el triple, cuádruple, quíntuple son
\(3x\) (triple)
\(4x\) (cuádruple)
\(5x\) (quíntuple)
La mitad de un número se calcula dividiendo entre 2. Luego la mitad de \(x\) es
$$ \frac{x}{2} $$
Esta operación es la misma que multiplicar por un medio:
$$ \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\cdot x$$
De forma similar,
la tercera parte de \(x\) es
\(frac{x}{3}\) o, equivalentemente, \( \frac{1}{3}\cdot x \)
la cuarta parte de \(x\) es
\( \frac{x}{4}\) o, equivalentemente, \( \frac{1}{4}\cdot x\)
las dos terceras partes de \(x\) son
\( \frac{2x}{3} \) o, equivalentemente, \( \frac{2}{3}\cdot x \)
las tres quintas partes de \(x\) son
\( \frac{3x}{5} \) o, equivalentemente, \( \frac{3}{5}\cdot x \)
El tanto por ciento de un número se calcula multiplicando por el porcentaje y dividiendo entre 100. Así,
el 20% de \(x\) es
$$ \frac{20x}{100}$$
el 50% de \(x\) es
$$ \frac{50x}{100}$$
el 85% de \(x\) es
$$ \frac{85x}{100}$$
Si \(x\) es un número natural (0, 1, 3,…), su consecutivo es el número que le sigue. Se obtiene sumando 1: el consecutivo de \(x\) es \(x+1\) y el consecutivo de \(x+1\) es \(x+2\).
El número que precede a \(x\) se obtiene restando 1: el que precede a \(x\) es \(x-1\) y el que precede a \(x-1\) es \(x-2\).
Sabiendo traducir al lenguaje matemático, ya podemos resolver los siguientes problemas.
Un número más 16 es igual al triple de dicho número. ¿Qué número es?
El número que buscamos es \(x\). Su triple es \(3x\). Como el número \(x\) más 16 es igual al triple de \(x\), la ecuación es
$$ x + 16 = 3x $$
Pasamos la \(x\) de la izquierda restando a la derecha:
$$ 16 = 3x -x $$
$$ 16 = 2x $$
El coeficiente 2 de \(x\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{16}{2} $$
$$ x = 8 $$
El número buscado es 8.
¿Qué dos números consecutivos suman 27?
Si \(x\) es el menor de los números, su consecutivo es \(x+1\). Como la suma de los dos tiene que ser 27,
$$ x + x + 1 = 27 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 2x + 1 = 27 $$
$$ 2x = 27-1$$
$$ 2x = 26 $$
$$ x = \frac{26}{2} = 13 $$
Por tanto, los números son 13 y 14.
Si Rosa tiene 3 años más que su hermana y sus edades suman 17, ¿qué edad tiene Rosa?
Llamamos \(x\) a la edad de la hermana de Rosa. Como Rosa es 3 años mayor, su edad es \(x+3\).
La suma de sus edades es 17:
$$ x + x + 3 = 17 $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 2x + 3 = 17 $$
$$ 2x = 17 -3 $$
$$ 2x = 14 $$
$$ x = \frac{14}{2}$$
$$ x = 7 $$
La edad de la hermana es 7 y la de Rosa es 10.
Calcular la edad de Pablo si dentro de 12 años su edad será el triple de la que tiene ahora.
Si \(x\) es la edad de Pablo, dentro de 12 años su edad será \(x+12\). Además, esta edad será el triple que la actual:
$$ x + 12 = 3x $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 12 = 3x – x $$
$$ 12 = 2x $$
$$ x = \frac{12}{2} $$
$$ x = 6 $$
La edad actual de Pablo es 6.
Problema difícil
Enunciado: Ana se duchó anoche y consumió una cuarta parte de la capacidad total del depósito. Javier se ha duchado hoy consumiendo una quinta parte del agua restante. Calcular la capacidad del depósito sabiendo que quedan 90L (inicialmente el depósito estaba lleno).
Solución:
La capacidad total del depósito es \(x\).
Ana consume una cuarta parte de \(x\), es decir, Ana consume $$\frac{x}{4} $$
En el depósito quedan tres cuartas partes del total, esto es, quedan
$$\frac{3x}{4}$$
Javier consume la quinta parte de las tres cuartas partes que quedan, luego Javier consume
$$ \frac{1}{5}\cdot \frac{3x}{4} $$
En el depósito quedan cuatro quintas partes de las tres cuartas partes que quedaban, es decir, ahora quedan
$$ \frac{4}{5}\cdot \frac{3x}{4} $$
Como esta fracción es igual a 90 litros, la ecuación que debemos resolver es
$$ \frac{4}{5}\cdot \frac{3x}{4} = 90$$
Calculamos el producto de las fracciones:
$$ \frac{4\cdot 3x}{5\cdot 4} = 90$$
Los 4’s se pueden eliminar porque uno multiplica y el otro divide:
$$ \frac{3x}{5} = 90$$
El 3 multiplica a \(x\), pasa al otro lado dividiendo:
$$ \frac{x}{5} = \frac{90}{3}$$
$$\frac{x}{5} = 30 $$
El 5 pasa multiplicando al otro lado porque está dividiendo:
$$ x = 30\cdot 5 $$
$$ x = 150 $$
La capacidad total del depósito es 150L.
A continuación, resolvemos otras 5 ecuaciones de la misma dificultad que las anteriores para seguir practicando, aunque no explicaremos los pasos tan detalladamente.
$$ 5-3x= x+1 $$
$$ 5= x+1 +3x $$
$$ 5 = 4x +1 $$
$$ 5 -1 = 4x $$
$$ 4 = 4x $$
$$ x = \frac{4}{4}$$
$$ x = 1 $$
$$ 5= x-1 +x $$
$$ 5 =2x -1 $$
$$ 5 +1 = 2x $$
$$ 6 = 2x $$
$$ x = \frac{6}{2}$$
$$ x = 3 $$
$$ 3x= 2x-5 $$
$$ 3x -2x = -5 $$
$$ x = -5 $$
$$ 3x -3 -x = 3 $$
$$ 2x -3 = 3 $$
$$ 2x = 3 + 3$$
$$ 2x = 6 $$
$$ x = \frac{6}{2}$$
$$ x = 3 $$
$$ 5x-2 -1 = 3x $$
$$ 5x -3 = 3x $$
$$ 5x -3 -3x = 0 $$
$$ 2x -3 = 0 $$
$$ 2x = 3$$
$$ x = \frac{3}{2} $$