Como en el Nivel 1 de ecuaciones de primer grado vimos cómo resolver ecuaciones básicas, el nivel 2 lo dedicamos a hablar un poco sobre las soluciones de las ecuaciones.
Los otros niveles de ecuaciones de primer grado son:
En este apartado explicamos el número de soluciones de una ecuación y su interpretación.
Recordad que en una ecuación de primer grado es de primer grado porque sólo puede aparecer la incógnita con exponente igual a 1 (\(x\) es lo mismo que \(x^1\)). En las de segundo grado, aparece la incógnita al cuadrado (exponente igual a 2, es decir, \(x^2\)). En las de tercer grado, aparece la incógnita al cubo (\(x^3\)). Y así, sucesivamente.
El grado de la ecuación influye en el número de soluciones de la ecuación: el grado es el número máximo de soluciones de la ecuación*.
Nota*: hablamos de número máximo de soluciones, pero hay un caso especial que veremos más adelante: infinitas soluciones.
Por tanto,
En una ecuación de primer grado hay, a lo sumo, una solución.
En una de segundo grado hay, a lo sumo, dos soluciones.
En una de tercer grado hay, a lo sumo, tres soluciones.
Y así, sucesivamente.
Una ecuación (del grado que sea) puede no tener ninguna solución. En este apartado vamos a ver un ejemplo claro de este caso. Adelantamos que esto ocurre cuando se obtiene una igualdad absurda en el proceso de resolución de la ecuación.
En el Nivel 1 vimos que podemos utilizar las ecuaciones para buscar número que cumple determinadas propiedades, por ejemplo, “la suma de un número con su consecutivo es igual a 10” lo que se traduce como \(x+ x+1 = 10\).
La ecuación que se traduce como “un número es igual a su consecutivo” es \( x = x+1 \). Antes de resolver esta ecuación, pensemos un poco en el significado de este problema:
El consecutivo del número 1 es el número 2, el de 3 es 4, el de 4 es 5, etc. Es fácil comprender que no puede haber un número que sea igual a su consecutivo. Como consecuencia, la ecuación que expresa “un número es igual a su consecutivo” no debería tener soluciones.
Resolvemos la ecuación:
$$ x = x+1 $$
Pasamos la \(x\) del lado derecho restando al lado izquierdo:
$$ x – x = 1 $$
$$ 0 = 1 $$
Al resolver la ecuación llegamos a un absurdo (decir que 0 es igual a 1 es un absurdo). Suponer que “un número es igual a su consecutivo” nos conduce a un absurdo. Esto significa que la suposición es falsa y, por tanto, concluimos que no existe ningún número que cumple \(x = x+1\), es decir, la ecuación no tiene soluciones.
De hecho, si sustituimos la incógnita por cualquier número, la igualdad será falsa. Por ejemplo:
Si \(x = 0\), tenemos \( 0 = 0+1 \).
Si \(x = 1\), tenemos \( 1 = 1+1 \).
Si \(x = 10\), tenemos \( 10 = 10+1\).
Resumiendo, una ecuación no tiene solución cuando de ella se deduce un absurdo.
El caso extremo es que haya infinitas soluciones, esto es, que cualquier número cumpla la ecuación. Adelantamos que esto ocurre cuando se obtiene una obviedad en la resolución de la ecuación.
La ecuación que traduce al lenguaje algebraico “un número es igual a sí mismo” es
$$x = x$$
No hay ninguna duda de que todo número es igual a sí mismo (por ejemplo, \(1 = 1\) y \(2 = 2\)). Como cualquier número es igual a sí mismo, cualquier número cumple la ecuación \( x = x\) y, por tanto, esta ecuación tiene infinitas soluciones (porque hay infinitos números).
Resolvemos la ecuación anterior:
$$ x = x $$
Pasamos la \(x\) de la derecha restando al otro lado:
$$ x -x = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Al resolver la ecuación llegamos a una obviedad, una igualdad que es verdadera siempre. Esto significa que la ecuación siempre se cumple independientemente del valor de la incógnita o, equivalentemente, que no importa qué número sea \(x\).
Cualquier número cumple la solución, con lo que cualquier número es solución.
Podemos escribir que la solución es \(x \in\mathbb{R}\) para decir que cualquier número real es la solución.
En este apartado vamos a resolver 5 ecuaciones que no tienen solución o que tienen infinitas.
Sumamos los monomios de la izquierda:
$$ 2x = 2x $$
Pasamos el \(2x\) de la derecha restando al otro lado:
$$ 2x - 2x = 0 $$
Sumamos los monomios de la izquierda:
$$ 0 = 0 $$
Como la igualdad es verdadera, la ecuación tiene infinitas soluciones.
La primera ecuación se traduce como “la suma de un número consigo mismo es igual a su doble”, lo cual es cierto para todos los números.
Sumamos el 1 y el 2 de la izquierda:
$$ 3 -x = x +3 $$
Pasamos el 3 de la izquierda restando a la izquierda:
$$ -x = x +3 -3 $$
$$ -x = x $$
Pasamos la \(x\) de la derecha restando al otro lado:
$$ -x -x = 0$$
Sumamos los monomios:
$$ 0 = 0 $$
La ecuación tiene infinitas soluciones.
Pasamos el -1 de la izquierda a la derecha:
$$ x = x +1 +1 $$
$$ x = x + 2 $$
Pasamos la incógnita de la derecha restando al otro lado:
$$ x – x = 2 $$
$$ 0 = 2$$
La ecuación no tiene soluciones porque \(0 = 2\) es una igualdad absurda.
Pensad que el significado de la ecuación inicial es “restar 1 es lo mismo que sumar 1” (esto obviamente es falso).
Sumamos los monomios de la izquierda:
$$ 0 = 1 $$
La ecuación no tiene solución.
Sumamos los monomios de la izquierda:
$$ 4x = 3x + x $$
Sumamos los monomios de la derecha:
$$ 4x = 4x $$
Pasamos el \(4x\) de la derecha al otro lado:
$$ 4x – 4x = 0 $$
Sumamos los monomios:
$$ 0 = 0 $$
La ecuación tiene infinitas soluciones:
$$ x \in \mathbb{R} $$
En este apartado vamos a resolver de 10 ecuaciones a partir de su significado. Es decir, sin realizar cálculos.
Tened cuidado porque el número 0 tiene propiedades que no cumplen los otros números, por ejemplo, su doble y su triple son iguales.
Tiene infinitas soluciones porque la resta de un número consigo mismo siempre es 0.
Tiene una única solución y es \(x = 0\) porque es el único número que es igual a su doble.
Tiene infinitas soluciones porque cualquier número multiplicado por 0 es 0.
No tiene solución porque el número que precede a cualquier número no puede ser igual al que le sigue.
Esta ecuación ya la hemos visto anteriormente y la tradujimos como "sumar 1 es lo mismo que restar 1".
Tiene una solución y es \(x = 0\) porque 0 es el único número cuyo doble es igual a su quíntuple.
Tiene infinitas soluciones porque la suma del doble y del triple de un número es su quíntuple.
No tiene soluciones porque el resultado de sumar 1 no puede ser el mismo que el resultado de sumar 2.
Tiene una única solución y es \(x = 0\) porque 0 es el único número igual a su opuesto (\(0 = -0\)).
Tiene una única solución y es \(x = 0\) porque es el único número que da 0 al multiplicarlo por 3.
Tiene una única solución y es \( x = 1\) porque es el único número cuyo doble es 2.