Problemas de mcm y mcd
Introducción
Vamos a resolver problemas de aplicación del mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Antes que nada, tenemos que recordar estos conceptos.
Mínimo común múltiplo:
El mínimo común múltiplo de dos números \(a\) y \(b\) (para abreviar, \(mcm(a,b)\)) es el número más pequeño que es múltiplo de \(a\) y de \(b\).
Para calcular el \(mcm(a,b)\), escribimos los números como producto de potencias de números primos. El \(mcm(a,b)\) es el producto de las potencias cuya base aparece en una o ambas descomposiciones, tomando el exponente mayor.
Descomponemos los números \(60\) y \(18\):
$$60 = 2^2·3·5$$
$$18 = 2·3^2$$
Las bases son \(2\), \(3\) y \(5\).
El mayor exponente es \(2\) para la base \(2\), \(2\) para la base \(3\) y \(1\) para la base \(5\).
Por tanto,
$$ mcm(60,18)=2^2·3^2·5^1 = 180 $$
Máximo común divisor:
Un número \(n\) es divisor del número \(a\) si la división \(a/b\) es un número natural (es decir, sin decimales).
El máximo común divisor de los números \(a\) y \(b\) (para abreviar, \(mcd(a,b)\)) es el número divisor más grande de \(a\) y de \(b\).
Para calcular el \(mcd(a,b)\), escribimos los números como producto de potencias de números primos. El \(mcd(a,b)\) es el producto de las potencias cuya base aparece en ambas descomposiciones (bases comunes), tomando el exponente menor.
Descomponemos los números \(60\) y \(18\):
$$ 60 = 2^2·3·5 $$
$$ 18 = 2·3^2 $$
Las bases comunes son \(2\) y \(3\). La base \(5\) no es común porque sólo aparece en la descomposición de \(60\).
El menor exponente para las bases comunes es \(1\) para la base \(2\) y \(1\) para la base \(3\).
Por tanto,
$$mcd(60,18) = 2^1·3^1 = 6 $$
Problema 1
Calcular el mcm y mcd de los números \(300\) y \(360\).
Las descomposiciones de los números son
$$ 300 = 2^2·3·5^2 $$
$$ 360 = 2^3·3^2·5 $$
Sólo hay bases comunes y son \(2\), \(3\) y \(5\).
Para el mcm, tomamos los exponentes mayores:
$$ mcm(300,360) = 2^3·3^2·5^2 = 1800$$
Para el mcd, tomamos los exponentes menores:
$$ mcd(300,360) = 2^2·3^1·5^1 = 60$$
Problema 2
Carlos dispone de dos listones de madera iguales pero de longitudes \(150\) y \(175\) centímetros. Si tiene que cortarlos en trozos iguales de forma que tenga el máximo número posible de trozos, ¿cuántos trozos debe cortar y cuánto deben medir?
La longitud de los listones tiene que ser un divisor de \(150\) y de \(175\) y, además, tiene que ser lo más grande posible. Por tanto, Carlos debe calcular el mcd.
Descomponemos los números:
$$ 150 = 2·3·5^2 $$
$$ 175 = 5^2·7 $$
Las única base común es \(5\) y el único exponente de estas bases es \(2\). Por tanto,
$$mcd(150,175) = 5^2 =25$$
Debe cortar trozos de \(25\) centímetros.
Dividiendo las longitudes entre \(25\), tenemos el número de trozos que obtendrá Carlos de cada listón:
El número total de trozos es \(13\).
Problema 3
Marta quiere comprar lápices de color verde y morado. Los lápices verdes van en cajas de \(100\) unidades, mientras que los morados van en cajas de \(40\).
¿Cuál es el mínimo número de cajas de cada color que debe comprar Marta para tener el mismo número de lápices de ambos colores?
El número total de lápices verdes es un múltiplo de \(100\) y el de lápices morados, múltiplo de \(40\).
Marta quiere que estos dos múltiplos sean iguales y, además, que sea mínimo. Por tanto, Marta debe calcular el mcm.
Descomponemos los números:
$$ 100 = 2·5^2 $$
$$ 40 = 2^3·5 $$
Las bases son \(2\) y \(5\) y sus exponentes mayores son \(3\) y \(2\). Por tanto,
$$mcm(100,40) = 2^3·5^2 = 200$$
Para tener \(200\) lápices verdes (van en cajas de \(100\)), debe comprar \(2\) cajas.
Para tener \(200\) lápices morados (van en cajas de \(40\)), debe comprar \(5\) cajas.
Por tanto, Marta tiene que comprar \(2\) cajas de lápices verdes y \(5\) cajas de lápices morados. En total, tendrá \(400\) lápices.
Problema 4
Antonio tiene \(70\) kg de cemento y \(240\) kg de arena y quiere preparar sacos iguales con la misma proporción de cemento y arena para guardarlos en el trastero, pero desea comprar el mínimo número posible de sacos. ¿Cuántos sacos debe comprar?
El número de sacos tiene que ser un divisor de \(70\) y a \(240\) y tiene que ser máximo. Por tanto, su mcd.
Descomponemos los números:
$$ 70 = 2·5·7 $$
$$ 240 = 2^4·3·5 $$
Las bases comunes son \(2\) y \(5\) y sus exponentes menores son \(1\) y \(1\). Por tanto,
$$ mcd(70,240) = 2^1·5^1 = 10 $$
Debe comprar \(10\) sacos.
Cada saco tendrá \(7\) kg de cemento y \(24\) de arena.
Problema 5
Pablo tarda \(30\) minutos en dar una vuelta completa al circuito con su moto y Alberto tarda \(28\) minutos. Si los dos motoristas salen de la misma línea y al mismo tiempo, ¿cuándo se encontrarán de nuevo en la línea de salida por primera vez?
Pablo pasa por la línea cada \(30\) minutos, es decir, en los múltiplos de \(30\). Alberto lo hace en los múltiplos de \(28\).
La primera vez que se encuentran en la línea es el primer múltiplo común de \(30\) y \(28\), esto es, su mcm.
Descomponemos los números:
$$ 30 = 2·3·5 $$
$$ 28 = 2^2·7 $$
Las bases son \(2\), \(3\), \(5\) y \(7\) y sus exponentes mayores son \(2\), \(1\), \(1\) y \(1\). Por tanto,
$$ mcm(28,30) = 2^2·3·5·7 = 420 $$
Los motoristas tardan \(420\) minutos (\(7\) horas) en encontrarse en la línea de salida.
Problema 6
Si los tornillos se venden en cajas de \(50\) unidades y las tuercas en cajas de \(45\), ¿cuántas cajas de cada tenemos que comprar para tener una rosca por cada tornillo?
El número total de tornillos es un múltiplo de \(50\) y el de tuercas es un múltiplo de \(45\). Debemos calcular el mcm.
Descomponemos los números:
$$ 50 = 2·5^2 $$
$$ 45 = 3^2·5 $$
Para el mcm usamos todas las bases al mayor exponente. Por tanto,
$$ mcm(45,50) = 2·3^2·5^2 = 450 $$
Para tener \(450\) tornillos, necesitamos \(9\) cajas, y para tener \(450\) tuercas, \(10\) cajas.
En total, debemos comprar \(19\) cajas.
Problema 7
Hugo quiere renovar el suelo de su habitación rectangular de dimensiones \(3{,}6\times 2{,}4 \ m\) utilizando baldosas cuadradas de cerámica lo más grande posible. ¿De qué tamaño y cuántas baldosas necesita Hugo?
Como las baldosas son cuadradas, la longitud de todos sus lados es igual: \(L\). Esta longitud debe dividir las dimensiones de la habitación. Además, \(L\) debe ser lo más grande posible. Por tanto, Hugo necesita calcular el mcd.
Multiplicamos por \(10\) las dimensiones para no tener números decimales: \(36\) y \(24\) decímetros.
Descomponemos los números:
$$ 36 = 2^2·3^2$$
$$ 24 = 2^3·3 $$
Las bases comunes son \(2\) y \(3\) y sus menores exponentes son \(2\) y \(1\). Por tanto,
$$ mcd(24,36) = 2^2·3 = 12 $$
El lado de cada baldosa tiene que medir \(1{,}2\) metros (\(12\) decímetros).
Tenemos que calcular el número de baldosas que caben a lo ancho y a lo largo y multiplicar los resultados (porque queremos cubrir una superficie).
Las dimensiones entre el lado de las baldosas son: \(36/12 = 3\) y \(24/12 = 2\).
El número total de baldosas de lado \(1{,}2\)m que necesita Hugo es \(3·2 = 6\).
Problema 8
En la casa de María hay una gran afición por la literatura y disponen de un total de 300 novelas históricas, 90 novelas clásicas, 6 novelas policíacas y 180 novelas románticas.
María ha pensado en hacer montones iguales de libros con los cuatro estilos para colocarlos en estanterías distintas. ¿Cuál es el mayor número de montones que puede hacer y de cuántas novelas?
Para que haya el mismo número de cada estilo en todos los montones, el número de montones tiene que dividir al número de novelas de cada estilo. Además, el número de montones tiene que ser máximo. María necesita calcular el mcd.
Descomponemos los números:
$$ 300 = 2^2·3·5^2 $$
$$ 90 = 2·3^2·5 $$
$$ 6 = 2·3 $$
$$ 180 = 2^2·3^2·5$$
Las bases comunes son \(2\) y \(3\). Escogemos los exponentes menores. Por tanto,
$$ mcd(6,90,180,300) = 2·3 = 6$$
Puede hacer un total de \(6\) montones.
Cada montón debe tener \(50\) novelas históricas, \(15\) novelas clásicas, \(1\) novela policíaca y \(30\) novelas románticas.
Problema 9
En una parada de autobús pasa un autobús que va al centro de la ciudad, otro que va al centro comercial y otro que va al aeropuerto. El primero pasa cada \(15\) minutos, el segundo pasa cada \(18\) y el tercero pasa cada \(6\). ¿Cuántas veces al día coinciden los tres autobuses en la parada?
La primera vez que coinciden los tres autobuses es en el mcm de los tiempos.
Descomponemos los números:
$$ 15 = 3·5 $$
$$ 18 = 2·3^2 $$
$$ 6 = 2·3 $$
$$ mcm(15,18) = 2·3^2·5 = 90 $$
Por tanto, a los \(90\) minutos coinciden los autobuses. Además, en dicho momento, como los autobuses coinciden, podemos poner de nuevo a cero el contador y, por tanto, tardan otros \(90\) minutos en coincidir. Es decir, los tres autobuses coinciden cada \(90\) minutos.
Como el día tiene \(24\) horas (\(1440\) minutos), coinciden \(16\) veces al día.
Problema 10
Preguntas para pensar. Razonar y dar ejemplos.
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¿Cuándo es \(1\) el mcd de dos números?
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¿Cuándo el mcm de dos números es uno de los dos números?
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¿Cuándo el mcd de dos números es uno de los dos números?
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¿Cuál es el mcd de dos números primos distintos?
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¿Cuál es el mcm de dos números primos distintos?
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El mcd de dos números es \(1\) cuando no tienen divisores comunes (excepto el \(1\)). Esto ocurre cuando los números con coprimos. Por ejemplo, los números \(2\) y \(3\) son coprimos; los números \(4\) y \(9\) también lo son.
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El mcm de dos números \(a\) y \(b\) es \(b\) cuando \(b\) es múltiplo de \(a\). Por ejemplo, el mcm de \(2\) y \(4\) es \(4\) porque \(4\) es múltiplo de \(2\).
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El mcd de dos números \(a\) y \(b\) es \(a\) cuando \(b\) es múltiplo de \(a\) (entonces, \(a\) divide a \(b\)). Por ejemplo, el mcd de \(2\) y \(4\) es \(2\) porque \(4\) es múltiplo de \(2\).
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El mcd de dos primos distintos es \(1\) porque no tienen divisores comunes (excepto el \(1\)). Por ejemplo, el mcd de \(2\) y \(5\) es \(1\).
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El mcm de dos números primos distintos es su producto. Por ejemplo, el mcm de \(3\) y \(5\) es \(15\).
Ecuaciones Resueltas ©
