Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Nivel 5: ecuaciones con soluciones complejas



Introducción


En los niveles anteriores decíamos que cuando el discriminante \(\Delta\) de una ecuación cuadrática es negativo, la ecuación no tiene soluciones (reales). Lo decíamos porque la ecuación tiene dos soluciones complejas.

En este nivel vamos a resolver ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas. Antes de esto, debemos hacer un recordatorio de algunos conceptos.

A. Número complejo


Un número complejo o imaginario en su forma binómica es

$$ z = a+b\cdot i$$

siendo \(i\) la unidad imaginaria \(i = \sqrt{-1}\) y \(b\neq 0\).

El conjunto de los números complejos se denota por \(\mathbb{C}\) y contiene a los números reales \(\mathbb{R}\).

Se denomina conjugado del complejo \( z = a+b\cdot i\) al número complejo \( \overline{z}=a-b\cdot i\). El conjugado de \(z\) suele denotarse por \(\overline{z}\).

No vamos a recordar las operaciones entre los complejos ya que no nos hacen falta. Más información sobre complejos:

B. Cálculo de las soluciones complejas




Si la ecuación de segundo grado es completa y está en su forma general \(ax^2 +bx + c = 0\), haremos uso de la fórmula cuadrática:

$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } $$

Si la ecuación es incompleta, no hará falta utilizar la fórmula.

En ambos casos, los complejos aparecen debido a la raíz cuadrada de un número negativo.

C. Cálculo de las soluciones complejas


Para escribir la raíz de un número negativo como un número complejo, tenemos que seguir los siguientes pasos:

  1. Escribimos la raíz como un producto de una raíz positiva por la raíz de -1.

  2. Cambiamos la raíz de -1 por la unidad imaginaria \(i\).

Ejemplo

D. Ecuaciones resueltas




Como se trata de un procedimiento muy metódico y sencillo, sólo resolveremos 5 ecuaciones. Más ecuaciones resueltas: Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas.

$$ x^2 + 1 = 0 $$

$$ x^2 + x +1 = 0 $$

$$ x^2 -2x + 5 = 0 $$

$$ 3x^2 + 27 = 0 $$

$$ x^2 - x + 7/4 = 0 $$



Ecuaciones Resueltas ©

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