En los niveles anteriores decíamos que cuando el discriminante \(\Delta\) de una ecuación cuadrática es negativo, la ecuación no tiene soluciones (reales). Lo decíamos porque la ecuación tiene dos soluciones complejas.
En este nivel vamos a resolver ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas. Antes de esto, debemos hacer un recordatorio de algunos conceptos.
Un número complejo o imaginario en su forma binómica es
$$ z = a+b\cdot i$$
siendo \(i\) la unidad imaginaria \(i = \sqrt{-1}\) y \(b\neq 0\).
El conjunto de los números complejos se denota por \(\mathbb{C}\) y contiene a los números reales \(\mathbb{R}\).
Se denomina conjugado del complejo \( z = a+b\cdot i\) al número complejo \( \overline{z}=a-b\cdot i\). El conjugado de \(z\) suele denotarse por \(\overline{z}\).
No vamos a recordar las operaciones entre los complejos ya que no nos hacen falta. Más información sobre complejos:
Si la ecuación de segundo grado es completa y está en su forma general \(ax^2 +bx + c = 0\), haremos uso de la fórmula cuadrática:
Si la ecuación es incompleta, no hará falta utilizar la fórmula.
En ambos casos, los complejos aparecen debido a la raíz cuadrada de un número negativo.
Para escribir la raíz de un número negativo como un número complejo, tenemos que seguir los siguientes pasos:
Escribimos la raíz como un producto de una raíz positiva por la raíz de -1.
Cambiamos la raíz de -1 por la unidad imaginaria \(i\).
Escribimos la raíz cuadrada de \(-3\) como un número complejo:
$$ \sqrt{-3} = \sqrt{3\cdot (-1)} $$
Como la raíz de un producto es el producto de las raíces,
$$ \sqrt{3\cdot (-1)} = \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} $$
Cambiamos \( \sqrt{-1}\) por \(i\):
$$ \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}\cdot i $$
Por tanto, \( \sqrt{-3} = \sqrt{3}\cdot i\).
Como se trata de un procedimiento muy metódico y sencillo, sólo resolveremos 5 ecuaciones. Más ecuaciones resueltas: Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas.
La ecuación es incompleta. Despejamos la incógnita haciendo la raíz cuadrada:
$$ x^2 = -1 $$
$$ x = \pm \sqrt{-1} $$
Ahora, cambiamos la raíz de \(-1\) por la unidad imaginaria \(i\):
$$ x = \pm i $$
Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son
$$ x_1 = i $$
$$ x_2 = -i $$
Como la ecuación es completa, utilizamos la fórmula.
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b = 1\) y \(c = 1 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1 \cdot 1 }}{2\cdot 1 } =$$
$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{1 - 4 }}{ 2 } =$$
$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{ -3 }}{ 2 }$$
En el ejemplo ya vimos que \( \sqrt{-3} = \sqrt{3}\cdot i \), así que
$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$
Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son
$$ x_1 = \frac{ -1 + \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$
$$ x_2 = \frac{ -1 - \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c = 5 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1 \cdot 5 }}{2\cdot 1 } =$$
$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 -20 }}{ 2 } =$$
$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ -16 }}{ 2 } =$$
Simplificamos la raíz de \(-16\):
$$ \sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot i = $$
$$ = 4\cdot i $$
Continuamos:
$$ x = \frac{ 2 \pm 4\cdot i }{ 2 } =$$
$$ = 1 \pm 2\cdot i $$
Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son
$$ x_1 = 1+2\cdot i $$
$$ x_2 = 1-2\cdot i $$
Dividimos la ecuación entre 3:
$$ x^2 + 9 = 0 $$
Despejamos la incógnita:
$$ x^2 = -9 $$
$$ x = \pm \sqrt{-9} $$
$$ x = \pm \sqrt{9}\cdot i $$
$$ x = \pm 3\cdot i $$
Las dos soluciones complejas de la ecuación son
$$ x_1 = 3i $$
$$ x_2 = -3i $$
Multiplicamos la ecuación por 4 para evitar las fracciones:
$$ 4x^2 -4x + 7 = 0 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 4\), \(b = -4\) y \(c = 7 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot 4 \cdot 7 }}{2\cdot 4 } =$$
$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{ 16 - 112 }}{ 8 } =$$
$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{ -96 }}{ 8 } $$
Simplificamos la raíz de \(-96\):
$$ \sqrt{-96} = \sqrt{96}\cdot i =$$
$$ = \sqrt{4^2\cdot 6} \cdot i = 4\sqrt{6}\cdot i $$
Continuamos:
$$ x = \frac{ 4 \pm 4\sqrt{6}\cdot i }{ 8 } =$$
$$ = \frac{ 1 \pm \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$
Las dos soluciones complejas de la ecuación son
$$ x_1 = \frac{ 1 + \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$
$$ x_2 = \frac{ 1 - \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$
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