Escribimos la raíz cuadrada de \(-3\) como un número complejo:

$$ \sqrt{-3} = \sqrt{3\cdot (-1)} $$

Como la raíz de un producto es el producto de las raíces,

$$ \sqrt{3\cdot (-1)} = \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} $$

Cambiamos \( \sqrt{-1}\) por \(i\):

$$ \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}\cdot i $$

Por tanto, \( \sqrt{-3} = \sqrt{3}\cdot i\).

La ecuación es incompleta. Despejamos la incógnita haciendo la raíz cuadrada:

$$ x^2 = -1 $$

$$ x = \pm \sqrt{-1} $$

Ahora, cambiamos la raíz de \(-1\) por la unidad imaginaria \(i\):

$$ x = \pm i $$

Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son

$$ x_1 = i $$

$$ x_2 = -i $$

Como la ecuación es completa, utilizamos la fórmula.

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b = 1\) y \(c = 1 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1 \cdot 1 }}{2\cdot 1 } =$$

$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{1 - 4 }}{ 2 } =$$

$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{ -3 }}{ 2 }$$

En el ejemplo ya vimos que \( \sqrt{-3} = \sqrt{3}\cdot i \), así que

$$ x = \frac{ -1 \pm \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$

Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son

$$ x_1 = \frac{ -1 + \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$

$$ x_2 = \frac{ -1 - \sqrt{3}\cdot i }{ 2 } $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c = 5 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1 \cdot 5 }}{2\cdot 1 } =$$

$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 -20 }}{ 2 } =$$

$$ x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ -16 }}{ 2 } =$$

Simplificamos la raíz de \(-16\):

$$ \sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot i = $$

$$ = 4\cdot i $$

Continuamos:

$$ x = \frac{ 2 \pm 4\cdot i }{ 2 } =$$

$$ = 1 \pm 2\cdot i $$

Por tanto, las dos soluciones complejas de la ecuación son

$$ x_1 = 1+2\cdot i $$

$$ x_2 = 1-2\cdot i $$

Dividimos la ecuación entre 3:

$$ x^2 + 9 = 0 $$

Despejamos la incógnita:

$$ x^2 = -9 $$

$$ x = \pm \sqrt{-9} $$

$$ x = \pm \sqrt{9}\cdot i $$

$$ x = \pm 3\cdot i $$

Las dos soluciones complejas de la ecuación son

$$ x_1 = 3i $$

$$ x_2 = -3i $$

Multiplicamos la ecuación por 4 para evitar las fracciones:

$$ 4x^2 -4x + 7 = 0 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 4\), \(b = -4\) y \(c = 7 \). Los sustituimos en la fórmula cuadrática:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot 4 \cdot 7 }}{2\cdot 4 } =$$

$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{ 16 - 112 }}{ 8 } =$$

$$ x = \frac{ 4 \pm \sqrt{ -96 }}{ 8 } $$

Simplificamos la raíz de \(-96\):

$$ \sqrt{-96} = \sqrt{96}\cdot i =$$

$$ = \sqrt{4^2\cdot 6} \cdot i = 4\sqrt{6}\cdot i $$

Continuamos:

$$ x = \frac{ 4 \pm 4\sqrt{6}\cdot i }{ 8 } =$$

$$ = \frac{ 1 \pm \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$

Las dos soluciones complejas de la ecuación son

$$ x_1 = \frac{ 1 + \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$

$$ x_2 = \frac{ 1 - \sqrt{6}\cdot i }{ 2 } $$