En este nivel vamos a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, aunque no vamos a explicar cómo resolver las ecuaciones con soluciones complejas (esto la haremos en otro nivel).
En los problemas resolveremos un total de 20 ecuaciones incompletas. Conocimientos previos recomendados:
Ecuaciones completas:
Recordamos la forma general de una ecuación cuadrática:
En el nivel 2 vimos que hay 3 tipos de ecuaciones incompletas:
Tipo 1: Si \(b = 0\) y \(c = 0\), la ecuación tiene la forma
$$ ax^2 = 0$$
Tipo 2: Si \(b \neq 0\) y \(c = 0\), la ecuación tiene la forma
$$ax^2 + bx = 0$$
Tipo 3: Si \(b = 0\) y \(c \neq 0\), la ecuación tiene la forma
$$ax^2 +c = 0$$
Resolveremos cada tipo de una forma distinta.
Estas ecuaciones sólo tienen una solución y es
No importa cuál sea el coeficiente \(a\neq 0\).
Resolvemos la ecuación
El coeficiente 2 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:
$$ x^2 = \frac{0}{2}$$
$$ x^2 = 0 $$
Las soluciones de la ecuación son los números cuyo cuadrado es 0. El único número que cumple esto es el 0.
Por tanto, la ecuación tiene una única solución: \(x = 0 \).
Veamos el razonamiento genérico de la resolución:
Si pasamos el coeficiente \(a\neq 0\) dividiendo al otro lado, tenemos
$$ x^2 = \frac{0}{a}$$
$$ x^2 = 0 $$
El número 0 es el único cuyo cuadrado es 0, así que es la única solución de la ecuación.
No resolveremos ecuaciones de este tipo en los problemas por su trivialidad.
Las soluciones de la ecuación son
Resolvemos la ecuación
Podemos escribir \(x^2\) como el producto \(x\cdot x\):
$$ x\cdot x - x = 0 $$
Observad que podemos sacamos factor común de \(x\):
$$ x\cdot (x -1) = 0$$
El producto \(x\cdot (x-1)\) es igual a 0 si alguno de sus factores es igual a 0, es decir,
$$ x = 0$$
O bien,
$$ x -1 = 0$$
Una solución de la ecuación es \(x = 0\). La otra solución es la solución de la ecuación de primer grado \(x -1 = 0\), es decir, \(x=1\).
Veamos el razonamiento genérico de la resolución:
Escribimos la ecuación como un producto (sacamos factor común de \(x\)):
$$ x\cdot (ax + b) = 0 $$
El producto anterior es 0 cuando uno o ambos factores es 0. Por tanto, igualamos ambos factores a 0:
Por un lado, tenemos $$ x = 0 $$. Por otro,
$$ ax + b =0$$
De esta última ecuación obtenemos la otra solución:
$$x = -\frac{b}{a}$$
Las soluciones son
Es decir,
Si el radicando es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Ecuación con soluciones:
Pasamos el monomio 25 al otro lado:
$$ x^2 = 25 $$
La incógnita \(x\) representa a los números cuyo cuadrado es 25. Para calcularlos, sólo tenemos que hacer la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{25} $$
$$ x = \pm 5 $$
Las soluciones son \(x_1 = 5\) y \(x_2 = -5\).
No olvidéis escribir el signo \(\pm\) al hacer la raíz cuadrada.
Ecuación sin soluciones:
Pasamos el 1 al otro lado:
$$ x^2 = -1 $$
La incógnita \(x\) representa a los números cuyo cuadrado es -1. Pero no existen hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.
Como veremos en otro nivel, si consideramos los números complejos, la ecuación sí tiene soluciones:
$$ x_1 = i $$
$$ x_2 = -i $$
Veamos el razonamiento genérico de la resolución:
Pasamos el término independiente al lado derecho:
$$ ax^2 = -c$$
Pasamos el coeficiente de la incógnita al otro lado:
$$ x^2 = -\frac{c}{a}$$
Como tenemos la incógnita al cuadrado, hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$$
Tenemos que escribir el signo \(\pm\) porque es una raíz cuadrada (índice par).
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de tipo 2 (con la forma \(ax^2 +bx=0\)):
Sacamos factor común de \(x\):
$$ x\cdot (3x +2) = 0 $$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 3x+2 = 0$$
$$ 3x = -2 $$
$$ x = -\frac{2}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = -\frac{2}{3} $$
Podemos sacamos factor común de \(2x\):
$$ 2x\cdot (3x -1) = 0 $$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 3x -1 = 0$$
$$ 3x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = \frac{1}{3}$$
Sacamos factor común de \(x\):
$$ x\cdot (2x -5) = 0 $$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 2x-5 = 0 $$
$$ 2x = 5$$
$$ x = \frac{5}{2} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 =0 $$
$$ x_2 =\frac{5}{2} $$
Sacamos factor común de \(x\):
$$x\cdot (3-8x) =0$$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 3-8x = 0$$
$$ 8x = 3$$
$$ x = \frac{3}{8} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = \frac{3}{8} $$
Sacamos factor común de \(x\):
$$ x\cdot (1 -x)=0$$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 1-x =0$$
$$ x = 1 $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = 1$$
Sacamos factor común de \(3x\):
$$ 3x\cdot (3x -1)=0$$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 3x-1=0$$
$$ 3x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = \frac{1}{3} $$
Sacamos factor común de \(7x\):
$$ 7x\cdot (1 -3x) = 0$$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 1-3x = 0$$
$$ 3x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = \frac{1}{3} $$
Pasamos el monomio del lado derecho al lado izquierdo:
$$ 15x^2 -5x = 0$$
Sacamos factor común de \(5x\):
$$ 5x\cdot (3x -1) =0 $$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 3x-1 = 0$$
$$ 3x = 1 $$
$$ x = \frac{1}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 =0 $$
$$ x_2 = \frac{1}{3} $$
Pasamos el monomio del lado derecho al izquierdo:
$$ 8x +x^2 =0$$
Sacamos factor común de \(x\):
$$ x\cdot (8+x) = 0 $$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 8+x=0$$
$$ x = -8$$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0 $$
$$ x_2 = -8 $$
Podemos multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para que desaparezcan. El mcm de 2 y 3 es 6.
$$6\cdot \frac{x^2}{3} = 6\cdot \frac{x}{2} $$
$$ 2x^2 = 3x $$
Pasamos el monomio del lado derecho al izquierdo:
$$ 2x^2 -3x = 0$$
Sacamos factor común de \(x\):
$$x\cdot (2x-3)=0$$
Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:
$$ 2x -3=0$$
$$ 2x = 3 $$
$$ x = \frac{3}{2} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 0$$
$$ x_2 = \frac{3}{2} $$
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de tipo 3 (con la forma \(ax^2 +c=0\)).
Nota: recordad que alguna podría no tener soluciones reales.
Pasamos el término independiente al lado derecho y hacemos la raíz cuadrada:
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = \pm \sqrt{4} $$
$$ x = \pm 2 $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 2$$
$$ x_2 = - 2$$
Pasamos el término independiente al lado derecho:
$$ 2x^2 = 18 $$
Pasamos el coeficiente de la incógnita dividiendo al otro lado:
$$ x^2 = \frac{18}{2} $$
$$ x^2 = 9 $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{9} $$
$$ x = \pm 3 $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 3$$
$$ x_2 = - 3$$
Pasamos el término independiente al lado derecho:
$$ 3x^2 = -48$$
Pasamos el coeficiente de la incógnita dividiendo al otro lado:
$$ x^2 = -\frac{48}{3} $$
$$ x^2 = -16 $$
La ecuación no tiene soluciones (reales) porque si hacemos la raíz cuadrada, su radicando es un número negativo.
Pasamos el término \(-x^2\) al otro lado:
$$ 9 = x^2 $$
Es decir, tenemos
$$ x^2 = 9 $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{9} $$
$$ x = \pm 3 $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = 3$$
$$ x_2 = -3 $$
Simplificamos la ecuación:
$$ 4 -1 = x^2$$
$$ 3 = x^2$$
$$ x^2 = 3 $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{3} $$
Como la raíz cuadrada de 3 es un número irracional (infinitos decimales), podemos dejar la solución así o aproximarla.
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = \sqrt{3} \simeq 1.732 $$
$$ x_2 = - \sqrt{3} \simeq -1.732$$
Pasamos el término independiente al lado derecho:
$$ x^2 = -25$$
Si hacemos la raíz cuadrada, ésta tendrá el radicando negativo. Por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.
La ecuación que tenemos es
$$ 5x^2 = 25$$
Pasamos el coeficiente 5 al otro lado:
$$ x^2 = \frac{25}{5} $$
$$ x^2 = 5 $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{5} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = \sqrt{5} \simeq 2.236$$
$$ x_2 = - \sqrt{5} \simeq -2.236$$
Podemos multiplicar la ecuación por 9 para que desaparezcan los denominadores:
$$ 9\cdot \frac{x^2}{9} =9\cdot \frac{1}{3} $$
$$ x^2 = 3 $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = \sqrt{3}$$
$$ x_2 = - \sqrt{3}$$
Multiplicamos la ecuación por 6:
$$ 6\cdot \frac{1}{6} = 6\cdot \frac{3x^2}{2} $$
$$ 1 = 3\cdot 3x^2$$
$$ 1 = 9x^2 $$
$$ 9x^2 = 1 $$
Pasamos el 9 dividiendo al otro lado:
$$ x^2 = \frac{1}{9} $$
Hacemos la raíz cuadrada:
$$ x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} $$
Recordad que la raíz de una fracción es la fracción de las raíces:
$$ x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} $$
$$ x = \pm \frac{1}{3} $$
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son
$$ x_1 = \frac{1}{3} $$
$$ x_2 = - \frac{1}{3} $$
Multiplicamos la ecuación por 4:
$$ 4\cdot \frac{5}{2} = -4\cdot \frac{5 x^2}{4} $$
$$ 2\cdot 5 = -5x^2 $$
$$ 10 =-5x^2 $$
$$ 5x^2 = -10$$
$$ x^2 = -2 $$
La ecuación no tiene soluciones reales.
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