Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Nivel 3: resolver ecuaciones incompletas



Introducción


En este nivel vamos a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, aunque no vamos a explicar cómo resolver las ecuaciones con soluciones complejas (esto la haremos en otro nivel).

En los problemas resolveremos un total de 20 ecuaciones incompletas. Conocimientos previos recomendados:

Ecuaciones completas:

A. Recordatorio


Recordamos la forma general de una ecuación cuadrática:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

$$a\neq 0 $$

En el nivel 2 vimos que hay 3 tipos de ecuaciones incompletas:

Resolveremos cada tipo de una forma distinta.

B. Ecuaciones de Tipo 1




$$ ax^2 = 0$$

Estas ecuaciones sólo tienen una solución y es

$$ x = 0$$

No importa cuál sea el coeficiente \(a\neq 0\).

Ejemplo

Razonamiento

No resolveremos ecuaciones de este tipo en los problemas por su trivialidad.

C. Ecuaciones de Tipo 2




$$ ax^2 + bx = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = -\frac{b}{a} $$

Ejemplo

Razonamiento

D. Ecuaciones de Tipo 3


$$ax^2 + c = 0$$

Las soluciones son

$$ x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Es decir,

$$ x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}$$

$$ x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Si el radicando es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Razonamiento

E. Problema 1


Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de tipo 2 (con la forma \(ax^2 +bx=0\)):

$$ 3x^2 + 2x = 0 $$

$$ 6x^2 - 2x = 0 $$

$$ 2x^2 - 5x = 0 $$

$$ 3x -8x^2 = 0 $$

$$ x -x^2 = 0 $$

$$ 9x^2 -3x = 0 $$

$$ 7x -21x^2 = 0 $$

$$ 15x^2 = 5x $$

$$ 8x = -x^2 $$

$$ \frac{x^2}{3} = \frac{x}{2} $$

F. Problema 2


Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de tipo 3 (con la forma \(ax^2 +c=0\)).

Nota: recordad que alguna podría no tener soluciones reales.

$$ x^2 -4 =0 $$

$$ 2x^2 -18 = 0 $$

$$ 3x^2 + 48 =0$$

$$ 9 -x^2 = 0 $$

$$ 4 -x^2 = 1 $$

$$ x^2 + 25 = 0 $$

$$ 25 = 5x^2 $$

$$ \frac{x^2}{9} = \frac{1}{3} $$

$$ \frac{1}{6} = \frac{3x^2}{2} $$

$$ \frac{5}{2} = -\frac{5 x^2}{4} $$



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