Resolvemos la ecuación

$$ 2x^2 = 0 $$

El coeficiente 2 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo:

$$ x^2 = \frac{0}{2}$$

$$ x^2 = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son los números cuyo cuadrado es 0. El único número que cumple esto es el 0.

Por tanto, la ecuación tiene una única solución: \(x = 0 \).

Veamos el razonamiento genérico de la resolución:

$$ ax^2 = 0$$

Si pasamos el coeficiente \(a\neq 0\) dividiendo al otro lado, tenemos

$$ x^2 = \frac{0}{a}$$

$$ x^2 = 0 $$

El número 0 es el único cuyo cuadrado es 0, así que es la única solución de la ecuación.

Resolvemos la ecuación

$$ x^2 -x = 0$$

Podemos escribir \(x^2\) como el producto \(x\cdot x\):

$$ x\cdot x - x = 0 $$

Observad que podemos sacamos factor común de \(x\):

$$ x\cdot (x -1) = 0$$

El producto \(x\cdot (x-1)\) es igual a 0 si alguno de sus factores es igual a 0, es decir,

$$ x = 0$$

O bien,

$$ x -1 = 0$$

Una solución de la ecuación es \(x = 0\). La otra solución es la solución de la ecuación de primer grado \(x -1 = 0\), es decir, \(x=1\).

Veamos el razonamiento genérico de la resolución:

$$ ax^2 + bx = 0 $$

Escribimos la ecuación como un producto (sacamos factor común de \(x\)):

$$ x\cdot (ax + b) = 0 $$

El producto anterior es 0 cuando uno o ambos factores es 0. Por tanto, igualamos ambos factores a 0:

Por un lado, tenemos $$ x = 0 $$. Por otro,

$$ ax + b =0$$

De esta última ecuación obtenemos la otra solución:

$$x = -\frac{b}{a}$$

Ecuación con soluciones:

$$ x^2 -25 = 0$$

Pasamos el monomio 25 al otro lado:

$$ x^2 = 25 $$

La incógnita \(x\) representa a los números cuyo cuadrado es 25. Para calcularlos, sólo tenemos que hacer la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{25} $$

$$ x = \pm 5 $$

Las soluciones son \(x_1 = 5\) y \(x_2 = -5\).

No olvidéis escribir el signo \(\pm\) al hacer la raíz cuadrada.

Ecuación sin soluciones:

$$ x^2 + 1 = 0 $$

Pasamos el 1 al otro lado:

$$ x^2 = -1 $$

La incógnita \(x\) representa a los números cuyo cuadrado es -1. Pero no existen hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.

Como veremos en otro nivel, si consideramos los números complejos, la ecuación sí tiene soluciones:

$$ x_1 = i $$

$$ x_2 = -i $$

Veamos el razonamiento genérico de la resolución:

$$ ax^2 + c = 0 $$

Pasamos el término independiente al lado derecho:

$$ ax^2 = -c$$

Pasamos el coeficiente de la incógnita al otro lado:

$$ x^2 = -\frac{c}{a}$$

Como tenemos la incógnita al cuadrado, hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$$

Tenemos que escribir el signo \(\pm\) porque es una raíz cuadrada (índice par).

Sacamos factor común de \(x\):

$$ x\cdot (3x +2) = 0 $$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 3x+2 = 0$$

$$ 3x = -2 $$

$$ x = -\frac{2}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = -\frac{2}{3} $$

Podemos sacamos factor común de \(2x\):

$$ 2x\cdot (3x -1) = 0 $$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 3x -1 = 0$$

$$ 3x = 1 $$

$$ x = \frac{1}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = \frac{1}{3}$$

Sacamos factor común de \(x\):

$$ x\cdot (2x -5) = 0 $$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 2x-5 = 0 $$

$$ 2x = 5$$

$$ x = \frac{5}{2} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 =0 $$

$$ x_2 =\frac{5}{2} $$

Sacamos factor común de \(x\):

$$x\cdot (3-8x) =0$$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 3-8x = 0$$

$$ 8x = 3$$

$$ x = \frac{3}{8} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = \frac{3}{8} $$

Sacamos factor común de \(x\):

$$ x\cdot (1 -x)=0$$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 1-x =0$$

$$ x = 1 $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = 1$$

Sacamos factor común de \(3x\):

$$ 3x\cdot (3x -1)=0$$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 3x-1=0$$

$$ 3x = 1 $$

$$ x = \frac{1}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = \frac{1}{3} $$

Sacamos factor común de \(7x\):

$$ 7x\cdot (1 -3x) = 0$$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 1-3x = 0$$

$$ 3x = 1 $$

$$ x = \frac{1}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = \frac{1}{3} $$

Pasamos el monomio del lado derecho al lado izquierdo:

$$ 15x^2 -5x = 0$$

Sacamos factor común de \(5x\):

$$ 5x\cdot (3x -1) =0 $$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 3x-1 = 0$$

$$ 3x = 1 $$

$$ x = \frac{1}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 =0 $$

$$ x_2 = \frac{1}{3} $$

Pasamos el monomio del lado derecho al izquierdo:

$$ 8x +x^2 =0$$

Sacamos factor común de \(x\):

$$ x\cdot (8+x) = 0 $$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 8+x=0$$

$$ x = -8$$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0 $$

$$ x_2 = -8 $$

Podemos multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para que desaparezcan. El mcm de 2 y 3 es 6.

$$6\cdot \frac{x^2}{3} = 6\cdot \frac{x}{2} $$

$$ 2x^2 = 3x $$

Pasamos el monomio del lado derecho al izquierdo:

$$ 2x^2 -3x = 0$$

Sacamos factor común de \(x\):

$$x\cdot (2x-3)=0$$

Una solución es \(x=0\). Para calcular la otra, resolvemos la siguiente ecuación:

$$ 2x -3=0$$

$$ 2x = 3 $$

$$ x = \frac{3}{2} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 0$$

$$ x_2 = \frac{3}{2} $$

Pasamos el término independiente al lado derecho y hacemos la raíz cuadrada:

$$ x^2 = 4 $$

$$ x = \pm \sqrt{4} $$

$$ x = \pm 2 $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 2$$

$$ x_2 = - 2$$

Pasamos el término independiente al lado derecho:

$$ 2x^2 = 18 $$

Pasamos el coeficiente de la incógnita dividiendo al otro lado:

$$ x^2 = \frac{18}{2} $$

$$ x^2 = 9 $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{9} $$

$$ x = \pm 3 $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 3$$

$$ x_2 = - 3$$

Pasamos el término independiente al lado derecho:

$$ 3x^2 = -48$$

Pasamos el coeficiente de la incógnita dividiendo al otro lado:

$$ x^2 = -\frac{48}{3} $$

$$ x^2 = -16 $$

La ecuación no tiene soluciones (reales) porque si hacemos la raíz cuadrada, su radicando es un número negativo.

Pasamos el término \(-x^2\) al otro lado:

$$ 9 = x^2 $$

Es decir, tenemos

$$ x^2 = 9 $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{9} $$

$$ x = \pm 3 $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = 3$$

$$ x_2 = -3 $$

Simplificamos la ecuación:

$$ 4 -1 = x^2$$

$$ 3 = x^2$$

$$ x^2 = 3 $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{3} $$

Como la raíz cuadrada de 3 es un número irracional (infinitos decimales), podemos dejar la solución así o aproximarla.

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = \sqrt{3} \simeq 1.732 $$

$$ x_2 = - \sqrt{3} \simeq -1.732$$

Pasamos el término independiente al lado derecho:

$$ x^2 = -25$$

Si hacemos la raíz cuadrada, ésta tendrá el radicando negativo. Por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.

La ecuación que tenemos es

$$ 5x^2 = 25$$

Pasamos el coeficiente 5 al otro lado:

$$ x^2 = \frac{25}{5} $$

$$ x^2 = 5 $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{5} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = \sqrt{5} \simeq 2.236$$

$$ x_2 = - \sqrt{5} \simeq -2.236$$

Podemos multiplicar la ecuación por 9 para que desaparezcan los denominadores:

$$ 9\cdot \frac{x^2}{9} =9\cdot \frac{1}{3} $$

$$ x^2 = 3 $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = \sqrt{3}$$

$$ x_2 = - \sqrt{3}$$

Multiplicamos la ecuación por 6:

$$ 6\cdot \frac{1}{6} = 6\cdot \frac{3x^2}{2} $$

$$ 1 = 3\cdot 3x^2$$

$$ 1 = 9x^2 $$

$$ 9x^2 = 1 $$

Pasamos el 9 dividiendo al otro lado:

$$ x^2 = \frac{1}{9} $$

Hacemos la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} $$

Recordad que la raíz de una fracción es la fracción de las raíces:

$$ x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} $$

$$ x = \pm \frac{1}{3} $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son

$$ x_1 = \frac{1}{3} $$

$$ x_2 = - \frac{1}{3} $$

Multiplicamos la ecuación por 4:

$$ 4\cdot \frac{5}{2} = -4\cdot \frac{5 x^2}{4} $$

$$ 2\cdot 5 = -5x^2 $$

$$ 10 =-5x^2 $$

$$ 5x^2 = -10$$

$$ x^2 = -2 $$

La ecuación no tiene soluciones reales.