Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Nivel 4: resolver ecuaciones completas



Introducción


En los niveles anteriores ya vimos como resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas. Dedicamos este nivel a las completas con soluciones reales.

Resolveremos las ecuaciones que tienen soluciones complejas en la siguiente nivel:

Primero, vamos a ver los conocimientos que necesitamos. Después, resolvermos 13 ecuaciones completas.

A. Fórmula


La forma general de una ecuación cuadrática completa es (\(a\neq 0\))

$$ ax^2 +bx + c = 0 $$

Las soluciones vienen dadas por la siguiente fórmula

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } $$

Es decir, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{ -b + \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } $$

$$x_2 = \frac{ -b - \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } $$

Consejo: la fórmula parece complicada a priori, pero si la escribís cada vez que resolvéis una ecuación, la aprenderéis.

B. Número de soluciones




Observad que el radicando que aparece en la fórmula es el discriminante \(\Delta\) que vimos en el Nivel 2:

$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c $$

Así que también podemos escribir la fórmula como

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{ \Delta }}{2\cdot a } $$

Ya dijimos en niveles anteriores que el signo de \(\Delta\) determina el número de soluciones:

Más información

C. Ecuaciones resueltas




Resolver las siguientes ecuaciones completas:

$$ x^2 -2x + 1 = 0 $$

$$ x^2 -3x -10 = 0 $$

$$ x^2 -2x -15 = 0 $$

$$ 2x^2 +2x -4 = 0 $$

$$ 5x^2 -10x -15 = 0 $$

$$ 3x^2 -2x -1 = 0 $$

$$ x^2 +8x +16 = 0 $$

$$ x^2 -x + 1/4 = 0 $$

$$ 9x^2 +6x + 1 = 0 $$

$$ 10x^2 -7x +1 = 0 $$

$$ x^2 +x +1 = 0 $$


D. Más ecuaciones resueltas


Las siguientes dos ecuaciones son más complicadas que las anteriores. Calcular las soluciones exactas (sin aproximar).

$$ x^2 -2x -2= 0 $$

$$ x^2 -\sqrt{2}\cdot x -1= 0 $$



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