En los niveles anteriores ya vimos como resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas. Dedicamos este nivel a las completas con soluciones reales.
Resolveremos las ecuaciones que tienen soluciones complejas en la siguiente nivel:
Primero, vamos a ver los conocimientos que necesitamos. Después, resolvermos 13 ecuaciones completas.
La forma general de una ecuación cuadrática completa es (\(a\neq 0\))
$$ ax^2 +bx + c = 0 $$
Las soluciones vienen dadas por la siguiente fórmula
Es decir, las dos soluciones son
Consejo: la fórmula parece complicada a priori, pero si la escribís cada vez que resolvéis una ecuación, la aprenderéis.
Observad que el radicando que aparece en la fórmula es el discriminante \(\Delta\) que vimos en el Nivel 2:
Así que también podemos escribir la fórmula como
Ya dijimos en niveles anteriores que el signo de \(\Delta\) determina el número de soluciones:
Si \(\Delta\) es negativo, no hay soluciones (reales).
Si \(\Delta = 0\), hay una única solución (y es real).
Si \(\Delta\) es positivo, hay dos soluciones distintas (y son reales).
Como el discriminante \(\Delta \) es el radicando que aparece en la fórmula,
Si \(\Delta\) es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales porque tenemos un número negativo en una raíz cuadrada. En este caso, las soluciones son complejas (números complejos o imaginarios).
Si \(\Delta = 0\), la fórmula queda como
$$ x = \frac{ -b \pm 0}{2\cdot a} = \frac{-b}{2\cdot a}$$
Es decir, sólo existe una solución. En este caso, decimos que la ecuación tiene dos soluciones iguales, o bien, que tiene una única solución (de multiplicidad doble).
Si \(\Delta\) es positivo, tenemos un radicando positivo. Así que la fórmula proporciona dos soluciones reales y distintas.
A continuación, resolvemos 11 ecuaciones de segungo grado completas:
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c =1 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4-4 }}{2} =$$
$$ = \frac{ 2\pm \sqrt{0 }}{2} =$$
$$ = \frac{2 \pm 0 }{2} $$
$$ = \frac{2 }{2} = 1 $$
Por tanto, la ecuación tiene una única solución
$$ x = 1 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-3\) y \(c =-10 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{(-3)^2 -4\cdot 1\cdot (-10) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{9 + 40 }}{2} =$$
$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{ 49}}{2} =$$
$$ = \frac{ 3\pm 7 }{2} $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 10 }{2} = 5 $$
$$ x_2 = \frac{ -4 }{2} = -2 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c =-15 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-15) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 64}}{2} =$$
$$ = \frac{ 2 \pm 8}{2} $$
Por tanto, las soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 10 }{2} = 5 $$
$$ x_2 = \frac{ -6 }{2} = -3 $$
Podemos dividir toda la ecuación entre 2 para tener números más pequeños:
$$ x^2 +x -2 = 0 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b= 1\) y \(c = -2 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1\cdot (-2) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ -1\pm \sqrt{ 1+8 }}{2} =$$
$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{ 9}}{2} =$$
$$ = \frac{ -1 \pm 3}{2} $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 2 }{2} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{ -4 }{2} = -2 $$
Dividimos toda la ecuación entre 5 para trabajar con números más pequeños:
$$ x^2 -2x -3 = 0 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c = -3\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-3) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 + 12 }}{2} =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 16 }}{2} =$$
$$ = \frac{ 2 \pm 4}{2} $$
Por tanto, dos las soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 6 }{2} = 3 $$
$$ x_2 = \frac{ -2 }{2} = -1 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 3\), \(b=-2\) y \(c =-1 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 3\cdot (-1) }}{2\cdot 3 } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 +12 }}{6} =$$
$$ = \frac{ 2\pm \sqrt{16 }}{6} =$$
$$ = \frac{2 \pm 4 }{6} $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 2+4 }{6} = \frac{ 6}{6} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{2 -4 }{6} = \frac{ -2 }{6} = -\frac{1}{3}$$
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=8\) y \(c = 16\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ -b \pm \sqrt{8^2 -4\cdot 1\cdot 16 }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{-8 \pm \sqrt{64 -64}}{2} =$$
$$ = \frac{ -8 \pm \sqrt{0 }}{2} =$$
$$ = \frac{ -8 }{2} = -4$$
Por tanto, sólo hay una solución.
Podemos multiplicar la ecuación por 4 para evitar las fracciones:
$$ 4x^2 -4x +1 = 0 $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a =4 \), \(b=-4\) y \(c = 1\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot 4\cdot 1 }}{2\cdot 4 } =$$
$$ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} =$$
$$ = \frac{ 4\pm \sqrt{0 }}{8} =$$
$$ = \frac{4 }{8} = \frac{1}{2}$$
Por tanto, la ecuación sólo tiene una solución.
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 9 \), \(b=6\) y \(c = 1\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{6^2 -4\cdot 9\cdot 1 }}{2\cdot 9 } =$$
$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{ 36 - 36 }}{18} =$$
$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{ 0 }}{18} =$$
$$ = \frac{ -6}{18} = -\frac{1}{3}$$
Por tanto, la ecuación sólo tiene una solución.
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 10\), \(b=-7\) y \(c = 1\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{(-7)^2 -4\cdot 10\cdot 1 }}{2\cdot 10 } =$$
$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{ 49 -40 }}{20} =$$
$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{ 9}}{20} =$$
$$ = \frac{ 7 \pm 3}{20} $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = \frac{ 10 }{20} = \frac{ 1 }{2} $$
$$ x_2 = \frac{ 4 }{20} = \frac{ 1 }{5} $$
Los coeficientes de la ecuación son \(a =1 \), \(b=1\) y \(c =1 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1\cdot 1 }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{-1 \pm \sqrt{1 -4}}{2} =$$
$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{ -3 }}{2} $$
La ecuación no tiene soluciones reales porque el radicando es negativo (el discriminante de la ecuación es negativo).
Ahora vamos a resolver 2 ecuaciones más complicadas que las anteriores. Calcularemos las soluciones exactas (sin aproximar).
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c = -2 \).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ (-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-2) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 +8 }}{2} =$$
$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 12 }}{2} $$
La raíz cuadrada de 12 no es exacta, pero podemos aplicar las propiedades de las raíces para simplificarla:
$$ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} =$$
$$ = \sqrt{4}\cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$
Continuamos:
$$ x= \frac{ 2 \pm 2\sqrt{3} }{2} $$
Simplificamos el 2 del denominador con los del numerador:
$$ x = 1 \pm \sqrt{3} $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = 1 + \sqrt{3} $$
$$ x_2 = 1 - \sqrt{3} $$
En esta ecuación, uno de los coeficientes es una raíz cuadrada.
Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b= - \sqrt{2} \) y \(c = -1\).
Sustituimos los coeficientes en la fórmula:
$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$
$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{ (-\sqrt{2})^2 -4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1 } =$$
$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{ 2 + 4 }}{2} =$$
$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{6 }}{2} $$
Podemos escribir la raíz cuadrada de 6 como un producto de raíces:
$$ \sqrt{6} = \sqrt{2\cdot 3} =$$
$$ = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} $$
Continuamos:
$$ x= \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} }{2} =$$
$$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 \pm \sqrt{3}) $$
Por tanto, las dos soluciones son
$$ x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 + \sqrt{3}) $$
$$ x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 - \sqrt{3}) $$
También, podemos escribir las soluciones como
$$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$
$$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$
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