Como el discriminante \(\Delta \) es el radicando que aparece en la fórmula,

• Si \(\Delta\) es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales porque tenemos un número negativo en una raíz cuadrada. En este caso, las soluciones son complejas (números complejos o imaginarios).

• Si \(\Delta = 0\), la fórmula queda como

  $$ x = \frac{ -b \pm 0}{2\cdot a} = \frac{-b}{2\cdot a}$$

  Es decir, sólo existe una solución. En este caso, decimos que la ecuación tiene dos soluciones iguales, o bien, que tiene una única solución (de multiplicidad doble).

• Si \(\Delta\) es positivo, tenemos un radicando positivo. Así que la fórmula proporciona dos soluciones reales y distintas.

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c =1 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4-4 }}{2} =$$

$$ = \frac{ 2\pm \sqrt{0 }}{2} =$$

$$ = \frac{2 \pm 0 }{2} $$

$$ = \frac{2 }{2} = 1 $$

Por tanto, la ecuación tiene una única solución

$$ x = 1 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-3\) y \(c =-10 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{(-3)^2 -4\cdot 1\cdot (-10) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{9 + 40 }}{2} =$$

$$ = \frac{ 3 \pm \sqrt{ 49}}{2} =$$

$$ = \frac{ 3\pm 7 }{2} $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 10 }{2} = 5 $$

$$ x_2 = \frac{ -4 }{2} = -2 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c =-15 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-15) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 64}}{2} =$$

$$ = \frac{ 2 \pm 8}{2} $$

Por tanto, las soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 10 }{2} = 5 $$

$$ x_2 = \frac{ -6 }{2} = -3 $$

Podemos dividir toda la ecuación entre 2 para tener números más pequeños:

$$ x^2 +x -2 = 0 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b= 1\) y \(c = -2 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1\cdot (-2) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ -1\pm \sqrt{ 1+8 }}{2} =$$

$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{ 9}}{2} =$$

$$ = \frac{ -1 \pm 3}{2} $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 2 }{2} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{ -4 }{2} = -2 $$

Dividimos toda la ecuación entre 5 para trabajar con números más pequeños:

$$ x^2 -2x -3 = 0 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c = -3\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-3) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 + 12 }}{2} =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 16 }}{2} =$$

$$ = \frac{ 2 \pm 4}{2} $$

Por tanto, dos las soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 6 }{2} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{ -2 }{2} = -1 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 3\), \(b=-2\) y \(c =-1 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 3\cdot (-1) }}{2\cdot 3 } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 +12 }}{6} =$$

$$ = \frac{ 2\pm \sqrt{16 }}{6} =$$

$$ = \frac{2 \pm 4 }{6} $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 2+4 }{6} = \frac{ 6}{6} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{2 -4 }{6} = \frac{ -2 }{6} = -\frac{1}{3}$$

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=8\) y \(c = 16\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ -b \pm \sqrt{8^2 -4\cdot 1\cdot 16 }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{-8 \pm \sqrt{64 -64}}{2} =$$

$$ = \frac{ -8 \pm \sqrt{0 }}{2} =$$

$$ = \frac{ -8 }{2} = -4$$

Por tanto, sólo hay una solución.

Podemos multiplicar la ecuación por 4 para evitar las fracciones:

$$ 4x^2 -4x +1 = 0 $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a =4 \), \(b=-4\) y \(c = 1\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot 4\cdot 1 }}{2\cdot 4 } =$$

$$ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} =$$

$$ = \frac{ 4\pm \sqrt{0 }}{8} =$$

$$ = \frac{4 }{8} = \frac{1}{2}$$

Por tanto, la ecuación sólo tiene una solución.

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 9 \), \(b=6\) y \(c = 1\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{6^2 -4\cdot 9\cdot 1 }}{2\cdot 9 } =$$

$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{ 36 - 36 }}{18} =$$

$$ = \frac{ -6 \pm \sqrt{ 0 }}{18} =$$

$$ = \frac{ -6}{18} = -\frac{1}{3}$$

Por tanto, la ecuación sólo tiene una solución.

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 10\), \(b=-7\) y \(c = 1\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{(-7)^2 -4\cdot 10\cdot 1 }}{2\cdot 10 } =$$

$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{ 49 -40 }}{20} =$$

$$ = \frac{ 7 \pm \sqrt{ 9}}{20} =$$

$$ = \frac{ 7 \pm 3}{20} $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{ 10 }{20} = \frac{ 1 }{2} $$

$$ x_2 = \frac{ 4 }{20} = \frac{ 1 }{5} $$

Los coeficientes de la ecuación son \(a =1 \), \(b=1\) y \(c =1 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1\cdot 1 }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{-1 \pm \sqrt{1 -4}}{2} =$$

$$ = \frac{ -1 \pm \sqrt{ -3 }}{2} $$

La ecuación no tiene soluciones reales porque el radicando es negativo (el discriminante de la ecuación es negativo).

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b=-2\) y \(c = -2 \).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ (-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-2) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4 +8 }}{2} =$$

$$ = \frac{ 2 \pm \sqrt{ 12 }}{2} $$

La raíz cuadrada de 12 no es exacta, pero podemos aplicar las propiedades de las raíces para simplificarla:

$$ \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} =$$

$$ = \sqrt{4}\cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$

Continuamos:

$$ x= \frac{ 2 \pm 2\sqrt{3} }{2} $$

Simplificamos el 2 del denominador con los del numerador:

$$ x = 1 \pm \sqrt{3} $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = 1 + \sqrt{3} $$

$$ x_2 = 1 - \sqrt{3} $$

En esta ecuación, uno de los coeficientes es una raíz cuadrada.

Los coeficientes de la ecuación son \(a = 1\), \(b= - \sqrt{2} \) y \(c = -1\).

Sustituimos los coeficientes en la fórmula:

$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4\cdot a\cdot c }}{2\cdot a } =$$

$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{ (-\sqrt{2})^2 -4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1 } =$$

$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{ 2 + 4 }}{2} =$$

$$ = \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{6 }}{2} $$

Podemos escribir la raíz cuadrada de 6 como un producto de raíces:

$$ \sqrt{6} = \sqrt{2\cdot 3} =$$

$$ = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} $$

Continuamos:

$$ x= \frac{ \sqrt{2} \pm \sqrt{2}\cdot \sqrt{3} }{2} =$$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 \pm \sqrt{3}) $$

Por tanto, las dos soluciones son

$$ x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 + \sqrt{3}) $$

$$ x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1 - \sqrt{3}) $$

También, podemos escribir las soluciones como

$$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$

$$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$