En este nivel vamos a definir el discriminante de una ecuación cuadrática y a ver su relación el número de soluciones de la ecuación. En los problemas no vamos a resolver las ecuaciones, sólo a calcular su discriminante y el número de soluciones.
Niveles en los que sí resolveremos ecuaciones:
En el nivel 1 dijimos que la forma general de una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es \(ax^2 +bx +c =0\), siendo \(a \neq 0\).
El discriminante se denota por la letra griega delta mayúscula, \(\Delta \), y es un número que se calcula con los coeficientes de la ecuación:
Para calcular el discriminante, la ecuación tiene que estar en su forma general y no hay que olvidar los signos de los coeficientes.
Ya veremos en los próximos niveles que, además, el discriminante aparece en la fórmula para calcular las soluciones de la ecuación.
Ejemplo: calculamos el discriminante de la siguiente ecuación cuadrática completa \(3x^2 -2x -1 = 0\).
Los coeficientes de la ecuación son \(a =3\), \(b =-2\) y \(c = -1\). Los sustituimos en la fórmula del discriminante:
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = (-2)^2 -4\cdot 3 \cdot (-1) = $$
$$ = 4 + 12 = 16 $$
No olvidéis escribir los coeficientes negativos entre paréntesis.
El discriminante de la ecuación siempre se puede calcular y es importante porque su signo nos informa del número de soluciones de la ecuación:
Si \(\Delta\) es positivo (\(\Delta > 0\)), la ecuación tiene dos soluciones distintas. Por ejemplo, la ecuación \(x^2 +4x+1 =0\).
Si \(\Delta\) es nulo (\(\Delta = 0\)), la ecuación tiene una única solución (también, podemos decir que tiene dos soluciones iguales). Por ejemplo, la ecuación \(x^2 +2x+1 =0\).
Si \(\Delta\) es negativo (\(\Delta < 0\)), la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas o imaginarias). Por ejemplo, la ecuación \(x^2 +x+1 =0\).
Calcular el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas y determinar su número de soluciones:
Los coeficientes son \(a = -1\), \(b = 4\) y \(c = 3\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 4^2-4\cdot (-1)\cdot 3 = $$
$$ = 16 +12 = 28 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones distintas.
Los coeficientes son \(a = -1\), \(b = 2\) y \(c = 7\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 2^2-4\cdot (-1)\cdot 7 = $$
$$ = 4 +28 = 32 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones distintas.
Los coeficientes son \(a = 9\), \(b = 0\) y \(c = 2\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 0^2-4\cdot 9 \cdot 2 = $$
$$ =0 -72 = -72 $$
Como \( \Delta < 0\), la ecuación no tiene soluciones reales.
Los coeficientes son \(a = 2\), \(b = -4\) y \(c = 2 \), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = (-4)^2-4\cdot 2 \cdot 2 = $$
$$ = 16 -16 = 0 $$
Como \( \Delta = 0\), la ecuación tiene una única solución.
Los coeficientes son \(a = 6\), \(b = -2\) y \(c = 0 \), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = (-2)^2-4\cdot 6 \cdot 0 = $$
$$ = 4 + 0 = 4 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones distintas.
Los coeficientes son \(a = -4\), \(b = 5\) y \(c = -1\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 5^2-4\cdot (-4)\cdot (-1) = $$
$$ = 25 -16 = 9 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones distintas.
Los coeficientes son \(a = -3\), \(b = 6\) y \(c = -3\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 6^2-4\cdot (-3)\cdot (-3) = $$
$$ = 36 -36 = 0 $$
Como \( \Delta = 0\), la ecuación tiene una única solución.
Los coeficientes son \(a = 1\), \(b = 0\) y \(c = -9\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 0^2-4\cdot 1 \cdot (-9) = $$
$$ = 0 +36 = 36 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones reales.
Los coeficientes son \(a = 1\), \(b = 0\) y \(c = 0\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 0^2-4\cdot 1 \cdot 0 = $$
$$ = 0 -0 = 0 $$
Como \( \Delta = 0\), la ecuación tiene una única solución.
Tenemos que pasar el \(-5x\) al otro lado:
$$ x^2 + 5x = 0 $$
Los coeficientes son \(a = 1\), \(b = 5\) y \(c = 0\), por lo que su discriminante es
$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c =$$
$$ = 5^2-4\cdot 1 \cdot 0 = $$
$$ = 25 - 0 = 25 $$
Como \( \Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones.
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