Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Nivel 1: Introducción
Introducción
Este es el primer nivel de ecuaciones de segundo grado. Vamos a definir este tipo de ecuaciones y a clasificarlas en completas e incompletas.
En este nivel no vamos a resolver las ecuaciones (lo haremos en los siguientes), sino que vamos a aprender a
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Identificar una ecuación cuadrática (problema 1)
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Identificar los coeficientes (problema 2)
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Escribir la ecuación en forma general (problema 3)
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Clasificar la ecuación en completa o incompleta (problema 4)
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Comprobar las soluciones (problema 5)
Niveles en los que sí resolveremos ecuaciones:
A. Definición y forma general
Definición de ecuación cuadrática, forma general, coeficientes, soluciones y ejemplos.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2.
Todas las ecuaciones cuadráticas pueden escribirse de la siguiente forma (llamada forma general):
$$ a\cdot x^2+ b\cdot x + c = 0 $$
o bien, si omitimos los puntos multiplicativos,
$$ ax^2+ bx + c = 0 $$
Las letras \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes de los monomios y representan a números cualesquiera, pero siendo siempre \(a \neq 0\).
La letra \(x\) es la incógnita de la ecuación y representa al número (o números) desconocido que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de la ecuación.
El coeficiente \(a\) se denomina coeficiente director y \(c\) se denomina término independiente.
Lo que distingue a las ecuaciones de segundo grado con las de primer grado es la presencia del monomio \(a\cdot x^2\) (por eso tiene que ser \(a\neq 0\)). Este monomio es el responsable de que la ecuación pueda tener hasta dos soluciones.
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Ejemplo 1: la ecuación
$$ x^2+2x+1=0 $$
es una ecuación cuadrática en forma general y sus coeficientes son \(a = 1\), \(b=2\) y \(c = 1\).
Esta ecuación sólo tiene una solución: \(x = -1\). Para comprobarlo, sólo tenemos que sustituir en la ecuación la incógnita \(x\) por \(-1\):
$$ (-1)^2 + 2\cdot (-1) + 1 = 0 $$
$$ 1 - 2 + 1 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
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Ejemplo 2: la ecuación
$$ x^2-4=0 $$
es una ecuación cuadrática en forma general y sus coeficientes son \(a = 1\), \(b=0\) y \(c = -4\).
Esta ecuación tiene dos soluciones: \(x = -2\) y \(x = 2\). Comprobamos las soluciones:
Si \(x = -2\), entonces
$$ (-2)^2-4=0 $$
$$ 4-4=0 $$
$$ 0=0 $$
Si \(x = 2\), entonces
$$ 2^2-4=0 $$
$$ 4-4=0 $$
$$ 0=0 $$
B. Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en dos tipos según sus coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en completas e incompletas.
No hay relación entre el número de soluciones de la ecuación y el tipo de ecuación (completa o incompleta).
La ecuación es completa cuando los tres coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son distintos de 0.
Ejemplos de ecuaciones completas:
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\( x^2 + x + 1 = 0 \)
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\( 2x^2 - x + 3 = 0\)
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\( -x^2 + 5x -3 = 0\)
Una ecuación cuadrática es incompleta cuando uno o los dos coeficientes \(b\) y \(c\) son 0. Por tanto, tenemos tres subtipos:
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Si \(b=0\) y \(c=0\), la ecuación tiene la forma
$$ ax^2 = 0 $$
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Si \(b\neq 0\) y \(c= 0\), la ecuación tiene la forma
$$ ax^2 + bx= 0 $$
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Si \(b= 0\) y \(c\neq 0\), la ecuación tiene la forma
$$ ax^2 + c= 0 $$
C. Problema 1
Determinar cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado:
Es una ecuación de segundo grado.
No es una ecuación cuadrática porque tiene un monomio de grado 3.
Es una ecuación de segundo grado.
Operando, la ecuación es
$$ 4x – 2 = 0 $$
No es una ecuación de segundo grado, es de primer grado.
Operando, la ecuación es
$$ 3x = 0 $$
Es decir, los monomios de segundo grado se cancelan, así que es una ecuación de primer grado.
$$ 3x^3 + x^2 = 3x^3 -1 $$
Hay monomios de grado 3, pero se cancelan al simplificar la ecuación:
$$ 3x^3 +x^2 = 3x^3 -1 $$
$$ 3x^3 -3x^3 +x^2 +1 = 0 $$
$$ x^2 +1 = 0 $$
Es una ecuación de segundo grado.
D. Problema 2
Determinar los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Recordad que \(a\) es el coeficiente del monomio de grado 2, \(b\) el del monomio de grado 1 y \(c\) el del monomio de grado 0.
Los coeficientes son \(a = -1\), \(b = 4\) y \(c = 3\).
Los coeficientes son \(a = -1\), \(b = 2\) y \(c = 7\).
Los coeficientes son \(a = 9\), \(b = 0\) y \(c = 2\).
El coeficiente \(b\) es 0 porque no hay monomio de grado 1.
Los coeficientes son \(a = 6\), \(b = -2\) y \(c = 0\).
El coeficiente \(c\) es 0 porque no hay monomio de grado 0.
Los coeficientes son \(a = -4\), \(b = 5\) y \(c = -1\).
Los coeficientes son \(a = 1\), \(b = 0\) y \(c = -9\).
E. Problema 3
Escribir las siguientes ecuaciones cuadráticas en su forma general:
Pasamos el monomio \(2x\) a la izquierda:
$$ x + 5 -x^2 -2x = 0 $$
Sumamos los monomios con la misma parte literal:
$$ -x^2 -x + 5 = 0 $$
Desarrollamos el producto del lado izquierdo:
$$ x^2 – x = 2(x-1)$$
Desarrollamos el producto del lado derecho:
$$ x^2 -x = 2x -2 $$
Pasamos los monomios del lado derecho al izquierdo:
$$ x^2 -x -2x +2 = 0$$
$$ x^2 -3x +2 = 0 $$
Desarrollamos el cuadrado:
$$ 4x^2 -4x +1 = 0$$
Desarrollamos el cuadrado:
$$ 9x^2 -30x +25 = 0 $$
F. Problema 4
Determinar si las siguientes ecuaciones de segundo grado en su forma general son completas o incompletas:
Es una ecuación completa.
Es una ecuación incompleta porque falta el monomio de grado 1 (el coeficiente \(b\) es 0).
Es una ecuación completa.
Es una ecuación incompleta porque falta el monomio de grado 0 (el coeficiente \(c\) es 0).
Es una ecuación completa.
Es una ecuación incompleta porque faltan los monomios de grado 1 y de grado 0 (los coeficientes \(b\) y \(c\) son 0).
F. Problema 5
Comprobar que \(x_1\) y \(x_2\) son soluciones de las ecuaciones cuadráticas siguientes.
Recordad que para comprobar que \(x_1\) y \(x_2\) son soluciones, tenemos que sustituirlas en la ecuación y ver si ésta se cumple:
$$ x^2 -2x -3 =0$$ $$ x_1 =-1 , x_2=3 $$
Sustituimos \(x_1 = -1\):
$$ x^2 -2x -3 =0 $$
$$ (-1)^2 -2\cdot (-1) -3 =0 $$
$$ 1 +2 – 3 = 0 $$
$$ 3-3 = 0 $$
$$0 = 0$$
Se cumple la ecuación.
Sustituimos \(x_2 = 3\):
$$ x^2 -2x -3 =0 $$
$$ 3^2 -2\cdot 3 -3 =0 $$
$$ 9 -6 -3 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
$$ 3x^2 +6x -9 =0 $$ $$ x_1 =-3 , x_2=1 $$
Sustituimos \(x_1 = -3\):
$$ 3x^2 +6x -9 =0 $$
$$ 3\cdot (-3)^2 +6\cdot (-3) -9 =0 $$
$$ 3\cdot 9 -18 -9 = 0$$
$$ 27 -18 -9 = 0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
Sustituimos \(x_2 = 1\):
$$ 3x^2 +6x -9 =0 $$
$$ 3\cdot 1^2 +6\cdot 1 -9 =0 $$
$$ 3 + 6-9 =0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
$$ 3x^2 -6x =0 $$ $$ x_1 =0 , x_2=2 $$
Sustituimos \(x_1 = 0\):
$$ 3x^2 -6x =0 $$
$$ 3\cdot 0^2 -6\cdot 0 =0 $$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
Sustituimos \(x_2 = 2\):
$$ 3x^2 -6x =0 $$
$$ 3\cdot 2^2 -6\cdot 2 =0 $$
$$ 3\cdot 4 -12 =0$$
$$ 12-12=0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
$$ 2x^2 -20x +50=0 $$ $$ x_1 = x_2=5 $$
Sustituimos \(x_1 =x_2= 5\):
$$ 2x^2 -20x +50=0 $$
$$ 2\cdot 5^2 -20\cdot 5 +50=0 $$
$$ 2\cdot 25 -100 + 50 =0 $$
$$ 50 -100 + 50 = 0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
$$ x^2/7 -7 =0$$ $$ x_1 = -7 , x_2= 7 $$
Sustituimos \(x_1 = -7\):
$$ \frac{x^2}{7} -7 =0 $$
$$ \frac{ (-7)^2 }{7} -7 =0 $$
$$ \frac{ 49 }{7} -7 =0 $$
$$ 7-7=0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
Sustituimos \(x_2 = 7\):
$$ \frac{x^2}{7} -7 =0 $$
$$ \frac{ 7^2 }{7} -7 =0 $$
$$ \frac{ 49 }{7} -7 =0 $$
$$ 7-7=0$$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
$$ (x-3)(x+3) =0 $$ $$ x_1 =-3 , x_2=3 $$
Sustituimos \(x_1 = -3\):
$$ (x-3)(x+3) =0 $$
$$ (-3 -3)(-3 +3) =0 $$
$$ -6\cdot 0 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
Sustituimos \(x_2 = 3\):
$$ (x-3)(x+3) =0 $$
$$ (3 -3)(3 +3) =0 $$
$$ 0\cdot 6 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Se cumple la ecuación.
Ecuaciones Resueltas ©