Sistemas de ecuaciones lineales
Nivel 4: Problemas de aplicación
Introducción
En los niveles anteriores vimos los tres métodos básicos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y reducción. En este nivel vamos a resolver 15 problemas mediante sistemas de ecuaciones.
Lo más importante de este tipo de problemas es
-
Identificar las incógnitas (mayoritariamente serán 2).
-
Relacionar las incógnitas entre sí, lo que significa encontrar las ecuaciones en las que aparecen.
Como ya hemos visto cómo resolver los sistemas en los niveles previos, escribiremos el sistema del problema y su solución. Si no recordáis cómo resolver un sistema,
¡En esta página vamos a ver cómo los sistemas de ecuaciones pueden ayudarnos a resolver problemas cotidianos!
Problema 1
En el aula de Alberto hay un total de \(27\) alumnos, habiendo el doble de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase de Alberto?
Llamaremos \(x\) al número de chicas e \(y\) al número de chicos.
El número total de alumnos es la suma del número de chicos y del de chicas, lo cual se traduce algebraicamente como
$$ x+y = 27 $$
Por otro lado, el número de chicas es el doble que el de chicos. Esto significa,
$$ x = 2y $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y & =& 27 \\
x & =& 2y
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 18\\
y &=& 9
\end{cases}$$
Por tanto, en el aula de Alberto hay \(9\) chicos y \(18\) chicas.
Problema 2
Se buscan dos números cuya suma sea \(24\) y cuya resta sea \(2\). ¿Qué números son?
Llamaremos \(x\) a e \(y\) a cada uno de los números.
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y & =& 24 \\
x-y& =& 2
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 13\\
y &=& 11
\end{cases}$$
Por tanto, los números que se buscan son \(11\) y \(13\).
Problema 3
Manuel tiene \(6\) años más que su hermana y sus edades suman \(38\). ¿Qué edad tiene cada hermano?
Llamaremos \(x\) a la edad de Manuel e \(y\) a la de su hermana.
Como Manuel tiene 6 años más que su hermana, su edad es la edad de su hermana más \(6\):
$$x = y + 6$$.
La suma de las edades de los hermanos es \(38\):
$$x+y = 38$$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x & = & y+6 \\
x+y & =& 38
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 22 \\
y &=& 16
\end{cases}$$
Por tanto, Manuel tiene \(22\) años y su hermana tiene \(16\).
Problema 4
La edad actual de Maite es el triple que la de su hija Ana y, dentro de \(10\) años, la edad de Maite será el doble que la de Ana. ¿Qué edad tiene Maite?
Llamaremos \(x\) a la edad actual de Maite e \(y\) a la edad actual de su hija Ana.
La edad de Maite es el triple que la de Ana: \(x = 3\cdot y\).
Dentro de 10 años, la edad de Maite será \(x+10\) y la de Ana será \(y+10\). Como la de Maite será el doble que la de Ana,
$$ x+10 = 2\cdot (y+10) $$
¡No olvidéis el paréntesis!
Operamos un poco en la ecuación:
$$ x+10 = 2y +20$$
$$ x-2y = 10 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x &=& 3y \\
x-2y&=& 1
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 30 \\
y &=& 10
\end{cases}$$
Por tanto, la edad de Maite es \(30\).
Problema 5
Javier tiene \(7\) vehículos en su garaje: bicicletas (\(2\) ruedas) y triciclos (\(3\) ruedas). ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos tiene Javier si suman un total de \(17\) ruedas?
Llamaremos \(x\) al número de bicicletas e \(y\) al número de triciclos.
Como en total hay \(7\) vehículos, tenemos la ecuación
$$ x+y = 7 $$
Contamos las ruedas:
-
como cada bicicleta tiene \(2\) ruedas y hay \(x\) bicicletas, suman \(2\cdot x\) ruedas.
-
como cada triciclo tiene \(3\) ruedas y hay \(y\) triciclos, suman \(3\cdot y\) ruedas.
El total de ruedas es \(17\), con lo que
$$ 2x + 3y = 17 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y & = & 7 \\
2x+3y & = & 17
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x = 4& \\
y = 3&
\end{cases}$$
Por tanto, Javier tiene \(4\) bicicletas y \(3\) triciclos.
Problema 6
Tomás utiliza en el gimnasio \(9\) pesas, siendo algunas de \(5kg\) y otras, de \(10kg\). ¿Cuántas pesas de cada utiliza si en total levanta \(65kg\)?
Llamaremos \(x\) al número de pesas de \(5kg\) e \(y\) al número de pesas de \(10kg\).
En total, hay \(9\) pesas: \(x+y = 9\).
El peso total de las pesas es \(65\):
$$ 5\cdot x + 10\cdot y = 65$$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y & = & 9\\
5 x + 10y & = & 65
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 5 \\
y &= & 4
\end{cases}$$
Por tanto, Tomás utiliza \(5\) pesas de \(5kg\) y \(4\) pesas de \(10kg\).
Problema 7
Encontrar un número de dos cifras sabiendo que sus cifras suman \(12\) y la primera cifra es el doble de la segunda.
Llamaremos \(x\) a la primera cifra e \(y\) a la segunda.
La suma de las cifras es \(12\):
$$x+y = 12$$
La primera cifra es el doble de la segunda:
$$ x = 2\cdot y$$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y &=& 12 \\
x-2y &=& 0
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 8 \\
y &=& 4
\end{cases}$$
Por tanto, es el número \(84\).
Problema 8
El precio de las entradas VIP de un partido de fútbol es el doble que el de las normales. Se recauda un total de \(7000\) dólares con las \(100\) entradas VIP y las \(500\) entradas normales.
¿Cuál es el precio de cada tipo de entrada?
Llamaremos \(x\) al precio de las entradas VIP e \(y\) al precio de las entradas normales.
Como el precio de las VIP es el doble, \(x = 2\cdot y\).
La cantidad que se recauda con todas las entradas VIP es
$$100\cdot x$$
Y con las entradas normales,
$$500\cdot y$$
La recaudación total es
$$100x+500y=7000$$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x&=& 2y \\
100x+500y &=&7000
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 20 \\
y &=& 10
\end{cases}$$
Por tanto, el precio de las entradas VIP es de \(20\) dólares y el de las normales es de \(10\) dólares.
Problema 9
Hemos comprado \(18L\) de pintura en una tienda de bricolaje donde el precio de la pintura azul es \(12$/L\) y el de la pintura verde es \(13.5$/L\). ¿Cuántos litros de pintura de cada color hemos comprado gastando \(234$\)?
Llamaremos \(x\) a la cantidad de litros de pintura azul e \(y\) a la de pintura verde.
En total, hemos comprado \(18L\):
$$x+y = 18$$
El coste total de la pintura azul es \(12\cdot x\) y el coste de la verde es \(13.5\cdot y\).
El precio de la compra es \(234$\):
$$ 12x + 13.5y = 234 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y &=& 18 \\
12x + 13.5y &=& 234
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 6\\
y &=& 12
\end{cases} $$
Por tanto, hemos comprado \(6L\) de pintura azul y \(12L\) de pintura verde.
Problema 10
Alberto quiere comprar un balón y una camiseta que cuestan \(25$\) en total, pero cuando llega a la caja, descubre que el balón está rebajado un \(70\%\) y la camiseta lo está un \(30\%\). Averiguar cuál era el precio inicial de cada artículo si finalmente paga \(12.7$\).
Llamaremos \(x\) al precio inicial del balón e \(y\) al precio inicial de la camiseta.
En un principio, el coste de la compra era \(25$\):
$$x+y = 25$$
Al aplicar los descuentos, el precio del balón es \(0.3\cdot x\) y el de la camiseta es \(0.7\cdot y\).
Como el coste final de la compra es \(12.7$\),
$$ 0.3x + 0.7y = 12.7 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y &=& 25 \\
0.3x + 0.7y &=& 12.7
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 12\\
y &=& 13
\end{cases}$$
Por tanto, el precio inicial del balón era \(12$\) y el de la camiseta era \(13$\).
Problema 11
Si rebajamos el precio de una carpeta un \(30\%\) y el de una libreta un \(25\%\), pagamos \(5.85$\). En cambio, si rebajamos el precio de la carpeta un \(40\%\) y el de la libreta un \(60\%\), pagamos \(3.8$\).
¿Cuál es el precio original de cada artículo?
Llamaremos \(x\) al precio original de la carpeta e \(y\) al precio original de la libreta.
Si aplicamos la primera oferta, pagamos \(5.85$\):
$$ 0.7x + 0.75y = 5.85 $$
Si aplicamos la segunda oferta, pagamos \(3.8$\):
$$ 0.6x + 0.4y = 3.8 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
0.7x + 0.75y &=& 5.85 \\
0.6x + 0.4y &=& 3.8
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 3 \\
y &=& 5
\end{cases}$$
Por tanto, el precio original de la carpeta es \(3$\) y el de la libreta es \(5$\).
Problema 12
La abuela de Pedro quiere dar dinero a sus nietos para las vacaciones de Navidad. Si le da \(25$\) a cada uno, le sobrarían \(25$\). Sin embargo, si les diera \(35$\), le faltarían \(25$\). ¿De cuánto dinero dispone la abuela de Pedro?
Llamaremos \(x\) al número de nietos e \(y\) al dinero del que dispone la abuela.
Si les da \(25$\), le sobran \(25$\):
$$ 25x + 25 = y $$
Si les da \(35$\), le faltan \(25$\):
$$ 35x = y + 25 $$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
25x -y &=& -25 \\
35x - y &=& 25
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 5 \\
y &=& 150
\end{cases}$$
Por tanto, la abuela dispone de \(150$\).
Problema 13
La edad de uno de los hermanos peruanos Abril de Vivero en \(1980\) era el triple que la edad que tenía en \(1930\). ¿En qué año nació?
Llamaremos \(x\) a su edad en \(1930\) e \(y\) a su año de nacimiento.
La edad que tenía en \(1930\) era \( 1930-y = x\) y la que tenía en \(1980\) era \( 1980 -y = 3x\).
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
1930 -y &=& x \\
1980 -y &=& 3x
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 25\\
y &=& 1905
\end{cases}$$
Por tanto, nació en el año \(1905\).
Se trata del poeta Xavier Abril de Vivero.
Problema 14
Luis invirtió una parte de los \(8000$\) de sus ahorros en un plan con un \(3\%\) de rentabilidad anual y la otra parte la invierte en un plan con un \(5\%\) de rentabilidad anual.
¿Cuánto dinero invirtió Luis en cada plan si después de un año tiene \(8340$\)?
Llamamos \(x\) al dinero que invirtió al \(3\%\) e \(y\) al dinero que invirtió al \(5\%\).
La cantidad de dinero invertida es \(8000$\):
$$ x+y = 8000$$
Después de un año, en el plan del \(3\%\) tiene \( x+0.03x\) (es decir, \( 1.03x\)) y en el plan del \(5\%\) tiene \(y + 0.05y\) (es decir, \(1.05y\)). En total, suman \(8340$\):
$$ 1.03x +1.05y = 8340$$
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
$$\begin{cases}
x+y &=& 8000 \\
1.03x +1.05y &=& 8340
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &= & 3000 \\
y &=& 5000
\end{cases}$$
Por tanto, Luis invirtió \(3000$\) al \(3\%\) y \(5000$\) al \(5\%\).
Problema 15
Manuel compra un total de \(36\) chicles. El número de chicles de limón es el doble que el de chicles de fresa y la suma del número de chicles de fresa y de chicles de limón es igual al número de chicles de menta.
¿Cuántos chicles de cada sabor tiene Manuel?
En este problema tenemos 3 incógnitas:
-
El número de chicles de fresas es \(x\)
-
El número de chicles de menta es \(y\)
-
El número de chicles de limón es \(z\)
Plantamos las ecuaciones:
-
En total, hay \(36\) chicles:
$$ x+y+z = 36 $$
-
Hay el doble de chicles de limón que de fresa:
$$ z = 2\cdot x $$
-
La suma de los chicles de fresa y de limón es el número de chicles de menta:
$$ x+z = y $$
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
$$\begin{cases}
x+y+z & =& 36 & \\
z-2x & =& 0 & \\
x+y-z &=& 0
\end{cases}$$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x &=& 6 \\
y &= & 18 \\
z &=& 12
\end{cases}$$
Por tanto, Manuel tiene \(6\) chicles de fresa, \(18\) de menta y \(12\) de limón.
Ecuaciones Resueltas ©