En este nivel vamos a explicar el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,
Como el método de reducción es un poco más complicado que los anteriores, no resolveremos problemas de aplicación en este nivel.
Normalmente, elegimos este método cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, pero de signo distinto, en ambas ecuaciones.
Explicaremos el método mientras resolvemos el sistema
$$\begin{cases} x-y & =& 1 \\ 2x+y & =& 14 \end{cases}$$
Nosotros escogemos la \(y\).
Nosotros sumamos las ecuaciones porque al sumar \(y\) con \(-y\), desaparecerá la incógnita \(y\).
Si esto no es así, tendremos que multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que una de las incógnitas desaparezca (haremos esto en los siguientes sistemas).
Sumamos las ecuaciones:
$$ \begin{equation} \begin{array} . & x & -y &=& 1 \\ + & 2x & +y &=& 14 \\ \hline & 3x & &=& 15 \end{array} \end{equation}$$
$$ 3x = 15 $$
El coeficiente \(3\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{15}{3} $$
$$ x = 5 $$
Sustituimos \(x = 5\) en la primera ecuación:
$$ x-y = 1 $$
$$ 5 - y = 1 $$
$$ 5-1 = y $$
$$ y = 4 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 5 \\ y & =& 4 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 3x-y & =& 0 \\ x+2y & =& 7 \end{cases}$$
Vamos a eliminar la incógnita \(y\). Su coeficiente es \(-1\) en la primera ecuación y \(2\) en la segunda.
Para que la \(y\) desaparezca al sumar las ecuaciones, necesitamos que su coeficiente en la primera ecuación sea \(-2\). Esto lo conseguimos multiplicando toda la ecuación por \(2\):
$$ 2\cdot (3x) -2y = 2\cdot 0 $$
$$ 6x - 2y = 0 $$
Sumamos las ecuaciones del sistema:
$$ \begin{equation} \begin{array} . & 6x & -2y &=& 0 \\ + & x & +2y &=& 7 \\ \hline & 7x & &=& 7 \end{array} \end{equation}$$
Resolvemos la ecuación obtenida:
$$ 7x = 7 $$
$$ x = \frac{7}{7} $$
$$ x = 1 $$
Sustituimos \(x = 1\) en la primera ecuación:
$$ 3x -y = 0 $$
$$ 3\cdot 1 -y = 0 $$
$$ 3-y = 0 $$
$$ y = 3 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 1 \\ y & =& 3 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2x+2y & =& 4 \\ 3x+4y & =& 0 \end{cases}$$
Vamos a eliminar la incógnita \(y\). Observad que su coeficiente en la primera ecuación es \(2\) y en la segunda es \(4\).
Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\) para que la incógnita \(y\) desaparezca al sumar las ecuaciones:
$$ -2\cdot (2x) -2\cdot (2y) = -2\cdot 4 $$
$$ -4x -4y = -8 $$
Sumamos las ecuaciones:
$$ \begin{equation} \begin{array} . & -4x & -4y &=& -8 \\ + & 3x & +4y &=& 0 \\ \hline & -x & &=& -8 \end{array} \end{equation}$$
Resolvemos la ecuación obtenida:
$$ -x = -8 $$
$$ x = 8 $$
Sustituimos \(x = 8\) en la primera ecuación:
$$ 2x +2y = 4 $$
$$ 2\cdot 8 +2y = 4 $$
$$ 16 +2y = 4 $$
$$ 2y = 4-16 $$
$$ 2y = -12 $$
$$ y = -\frac{12}{2}$$
$$ y = -6$$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 8 \\ y & =& -6 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2x+2y & =& 4 \\ 6x+5y & =& 5 \end{cases}$$
Vamos a eliminar la incógnita \(y\).
Tenemos que operar un poco para que la incógnita \(y\) desaparezca al sumar las ecuaciones.
Dividimos la primera ecuación entre \(2\):
$$ 2x + 2y = 4 $$
$$ x+y = 2 $$
Ahora, la multiplicamos por \(-5\):
$$ -5x -5y = -10 $$
Ya podemos sumar las ecuaciones:
Sumamos las ecuaciones del sistema:
$$ \begin{equation} \begin{array} . & -5x & -5y &=& -10 \\ + & 6x & +5y &=& 5 \\ \hline & x & &=& -5 \end{array} \end{equation}$$
Sustituimos \(x = -5\) en la primera ecuación:
$$ 2x + 2y = 4 $$
$$ 2\cdot (-5) + 2y = 4 $$
$$ -10 +2y = 4 $$
$$ 2y = 4+10 $$
$$ 2y = 14 $$
$$ y = \frac{14}{2} $$
$$ y = 7 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& -5 \\ y & =& 7 \end{cases}$$
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