Sistemas de ecuaciones lineales

Nivel 3: Método de reducción



Introducción


En este nivel vamos a explicar el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,

$$\begin{cases} 2x-y & =& 0 \\ 3x+y & =& 5 \end{cases}$$

Como el método de reducción es un poco más complicado que los anteriores, no resolveremos problemas de aplicación en este nivel.

A. Método de reducción


Normalmente, elegimos este método cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, pero de signo distinto, en ambas ecuaciones.

Explicaremos el método mientras resolvemos el sistema

$$\begin{cases} x-y & =& 1 \\ 2x+y & =& 14 \end{cases}$$

Primer paso:

Elegimos una de las variables para eliminarlas.

Nosotros escogemos la \(y\).

Segundo paso:

Sumamos o restamos las ecuaciones.

Nosotros sumamos las ecuaciones porque al sumar \(y\) con \(-y\), desaparecerá la incógnita \(y\).

Si esto no es así, tendremos que multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que una de las incógnitas desaparezca (haremos esto en los siguientes sistemas).

Sumamos las ecuaciones:

$$ \begin{equation} \begin{array} . & x & -y &=& 1 \\ + & 2x & +y &=& 14 \\ \hline & 3x & &=& 15 \end{array} \end{equation}$$

Tercer paso:

Resolvemos la ecuación obtenida.

$$ 3x = 15 $$

El coeficiente \(3\) pasa al otro lado dividiendo:

$$ x = \frac{15}{3} $$

$$ x = 5 $$

Cuarto paso:

Calculamos la otra incógnita sustituyendo un alguna de las ecuaciones.

Sustituimos \(x = 5\) en la primera ecuación:

$$ x-y = 1 $$

$$ 5 - y = 1 $$

$$ 5-1 = y $$

$$ y = 4 $$

Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 5 \\ y & =& 4 \end{cases}$$

B. Sistema 1




$$\begin{cases} 3x-y & =& 0 \\ x+2y & =& 7 \end{cases}$$

Solución

C. Sistema 2




$$\begin{cases} 2x+2y & =& 4 \\ 3x+4y & =& 0 \end{cases}$$

Solución

D. Sistema 3


$$\begin{cases} 2x+2y & =& 4 \\ 6x+5y & =& 5 \end{cases}$$

Solución



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