La solución del sistema son los valores que deben tomar las incógnitas \(x\) e \(y\) para que se cumplan las dos ecuaciones simultáneamente.

La solución del sistema del ejemplo anterior es

$$\begin{cases} x & =& 4 \\ y & =& -2 \end{cases}$$

Para comprobar que es así, debemos sustituir estos valores en el sistema (\(4\) en lugar de \(x\) y \(-2\) en lugar de \(y\)):

$$\begin{cases} 4+(-2) & =& 2 \\ 4+2\cdot(-2) & =& 0 \end{cases}$$

Observad, por ejemplo, que si \(x = y = 1\), se cumple la primera ecuación pero no se cumple la segunda:

$$\begin{cases} 1+1 & =& 2 \\ 1+2\cdot(1) & \neq & 0 \end{cases}$$

Despejamos la incógnita \(x\) de la primera ecuación:

$$ x - y = 0 $$

$$ x = y $$

Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación y la resolvemos:

$$ x + 5y = 30$$

$$ y+5y = 30 $$

$$ 6y = 30 $$

El coeficiente \(6\) pasa dividiendo al otro lado:

$$ y = \frac{30}{6} =5 $$

Calculamos \(x\) sustituyendo \(y = 5\):

$$ x = y $$

$$ x = 5 $$

Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 5 \\ y & =& 5 \end{cases}$$

Despejamos la incógnita \(x\) de la primera ecuación:

$$ 2x+5y = 3 $$

$$ 2x = 3-5y $$

El coeficiente \(2\) pasa al otro lado dividiendo:

$$ x = \frac{3-5y}{2} $$

Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación y la resolvemos:

$$ 8x -10y = 0$$

$$ 8\cdot \left( \frac{3-5y}{2}\right) -10y = 0$$

El denominador divide al \(8\) que multiplicando a la fracción:

$$ 4\cdot (3-5y) - 10y = 0$$

El \(4\) multiplica a los sumandos del paréntesis:

$$ 12 - 20y - 10y = 0 $$

$$ 12 -30y = 0 $$

$$ 12 = 30y $$

El coeficiente \(30\) pasa dividiendo al otro lado:

$$ y = \frac{12}{30} $$

Simplificamos la fracción:

$$ y = \frac{2}{5} $$

Calculamos \(x\) sustituyendo \(y = 2/5\):

$$ x = \frac{3-5y}{2} $$

$$ x = \frac{3-5\cdot \left( \frac{2}{5} \right) }{2} $$

$$ x = \frac{3 - 2}{2} $$

$$ x = \frac{1}{2} $$

Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& \frac{1}{2} \\ y & =& \frac{2}{5} \end{cases}$$

1. Identificamos las incógnitas

Uno de los números es \(x\) y el otro es \(y\).

2. Obtenemos las dos ecuaciones

La suma de los números es \(21\):

$$ x+y = 21 $$

La resta de los números es \(9\):

$$ x-y = 9 $$

3. Resolvemos el sistema por sustitución:

El sistema que tenemos es

$$\begin{cases} x+y & =& 21 \\ x-y & =& 9 \end{cases}$$

Despejamos la \(x\) en la primera ecuación:

$$ x +y = 21 $$

$$ x = 21-y $$

Sustituimos la \(x\) en la segunda ecuación:

$$ x-y = 9 $$

$$ (21-y) - y = 9$$

$$ 21 -2y = 9 $$

$$ 2y = 21-9 $$

$$ y = \frac{12}{2} = 6$$

Calculamos la otra incógnita:

$$ x = 21-y $$

$$ x = 21-6 $$

$$ x = 15 $$

La solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 15 \\ y & =& 6 \end{cases}$$

Por tanto, los números cuya suma es \(21\) y cuya resta es \(9\) son \(15\) y \(6\).

1. Identificamos las incógnitas

Llamaremos \(x\) a la base e \(y\) a la altura.

2. Obtenemos las dos ecuaciones

Como la altura mide el doble que la base, \( y = 2\cdot x\).

El perímetro del rectángulo es 18:

$$ x+x+y+y = 18 $$

Es decir,

$$ 2x+2y = 18 $$

3. Resolvemos el sistema por sustitución:

El sistema que tenemos es

$$\begin{cases} y& =& 2x \\ 2x+2y & =& 18 \end{cases}$$

Ya tenemos despejada la \(y\) en la primera ecuación. La sustituimos en la segunda:

$$ 2x+2y = 18 $$

$$ 2x+2\cdot (2x) = 18$$

$$ 2x+4x = 18 $$

$$ 6x = 18 $$

El \(6\) pasa dividiendo al otro lado:

$$ x = \frac{18}{6}$$

$$ x = 3 $$

Calculamos la otra incógnita:

$$ y = 2x $$

$$ y = 2\cdot 3 $$

$$ y = 6 $$

La solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 3 \\ y & =&6 \end{cases}$$

Por tanto, la altura del rectángulo mide \(6cm\).

1. Identificamos las incógnitas

Llamamos \(x\) a la edad de Laura e \(y\) a la edad de su hija.

2. Obtenemos las dos ecuaciones

La edad de Laura es el doble:

$$ x = 3\cdot y$$

La suma de las edades es \(68\):

$$ x+y = 68 $$

3. Resolvemos el sistema por sustitución:

El sistema que tenemos es

$$\begin{cases} x& =& 3y \\ x+y & =& 68 \end{cases}$$

Ya tenemos despejada la \(x\) en la primera ecuación. La sustituimos en la segunda:

$$ x+y = 68 $$

$$ 3y +y = 68 $$

$$ 4y = 68 $$

El coeficiente \(4\) pasa al otro lado dividiendo:

$$ y = \frac{68}{4} $$

$$ y = 17 $$

Calculamos la otra incógnita:

$$ x = 3\cdot x $$

$$ x = 3\cdot 17 $$

$$ x = 51 $$

La solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 51\\ y & =& 17 \end{cases}$$

Por tanto, la edad de Laura es \(51\).