Sistemas de ecuaciones lineales
Nivel 1: Método de sustitución
Introducción
En este nivel vamos a explicar el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones lieanes. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,
Para terminar, resolveremos 3 problemas de aplicación.
A. Recordatorio
Sobre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
La solución del sistema son los valores que deben tomar las incógnitas \(x\) e \(y\) para que se cumplan las dos ecuaciones simultáneamente.
La solución del sistema del ejemplo anterior es
$$\begin{cases}
x & =& 4 \\
y & =& -2
\end{cases}$$
Para comprobar que es así, debemos sustituir estos valores en el sistema (\(4\) en lugar de \(x\) y \(-2\) en lugar de \(y\)):
$$\begin{cases}
4+(-2) & =& 2 \\
4+2\cdot(-2) & =& 0
\end{cases}$$
Observad, por ejemplo, que si \(x = y = 1\), se cumple la primera ecuación pero no se cumple la segunda:
$$\begin{cases}
1+1 & =& 2 \\
1+2\cdot(1) & \neq & 0
\end{cases}$$
B. Método de sustitución
Normalmente, elegimos este método cuando es fácil despejar alguna de las incógnitas en alguna de las ecuaciones.
Explicaremos los pasos mientras resolvemos el sistema
$$\begin{cases}
3x-y & =& 0 \\
5x-2y & =& -1
\end{cases}$$
Elegimos una de las incógnitas.
Nosotros elegimos la \(y\).
Despejamos dicha incógnita en una de las ecuaciones.
Nosotros despejamos la \(y\) en la primera ecuación:
$$ 3x -y = 0 $$
$$ 3x = y $$
Sustituimos la incógnita despejada en la otra ecuación.
En lugar de \(y\), escribimos \(3x\) en la segunda ecuación:
$$ 5x -2y = -1$$
$$ 5x -2\cdot (3x) = -1 $$
Resolvemos la ecuación de primer grado.
$$ 5x -2\cdot (3x) = -1 $$
$$ 5x -6x = -1 $$
$$ -x = -1 $$
$$ x = 1 $$
Calculamos la otra incógnita sustituyendo la incógnita obtenida.
Sustituimos \(x = 1\) en la ecuación \(y = 3x\):
$$ y = 3x $$
$$ y = 3\cdot 1 $$
$$ y = 3 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& 1 \\
y & =& 3
\end{cases}$$
C. Sistema 1
$$\begin{cases}
x-y & =& 0 \\
x+5y & =& 30
\end{cases}$$
Despejamos la incógnita \(x\) de la primera ecuación:
$$ x - y = 0 $$
$$ x = y $$
Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación y la resolvemos:
$$ x + 5y = 30$$
$$ y+5y = 30 $$
$$ 6y = 30 $$
El coeficiente \(6\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ y = \frac{30}{6} =5 $$
Calculamos \(x\) sustituyendo \(y = 5\):
$$ x = y $$
$$ x = 5 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& 5 \\
y & =& 5
\end{cases}$$
D. Sistema 2
$$\begin{cases}
2x+5y & =& 3 \\
8x-10y & =& 0
\end{cases}$$
Despejamos la incógnita \(x\) de la primera ecuación:
$$ 2x+5y = 3 $$
$$ 2x = 3-5y $$
El coeficiente \(2\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{3-5y}{2} $$
Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación y la resolvemos:
$$ 8x -10y = 0$$
$$ 8\cdot \left( \frac{3-5y}{2}\right) -10y = 0$$
El denominador divide al \(8\) que multiplicando a la fracción:
$$ 4\cdot (3-5y) - 10y = 0$$
El \(4\) multiplica a los sumandos del paréntesis:
$$ 12 - 20y - 10y = 0 $$
$$ 12 -30y = 0 $$
$$ 12 = 30y $$
El coeficiente \(30\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ y = \frac{12}{30} $$
Simplificamos la fracción:
$$ y = \frac{2}{5} $$
Calculamos \(x\) sustituyendo \(y = 2/5\):
$$ x = \frac{3-5y}{2} $$
$$ x = \frac{3-5\cdot \left( \frac{2}{5} \right) }{2} $$
$$ x = \frac{3 - 2}{2} $$
$$ x = \frac{1}{2} $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& \frac{1}{2} \\
y & =& \frac{2}{5}
\end{cases}$$
Problemas de aplicación
Para resolver los problemas, tenemos que seguir los siguientes pasos:
-
Identificar las incógnitas (serán \(x\) e \(y\))
-
Obtener las dos ecuaciones
-
Resolver el sistema (por sustitución)
E. Problema 1
Hallar dos números cuya suma sea \(21\) y su resta sea \(9\).
1. Identificamos las incógnitas
Uno de los números es \(x\) y el otro es \(y\).
2. Obtenemos las dos ecuaciones
La suma de los números es \(21\):
$$ x+y = 21 $$
La resta de los números es \(9\):
$$ x-y = 9 $$
3. Resolvemos el sistema por sustitución:
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases}
x+y & =& 21 \\
x-y & =& 9
\end{cases}$$
Despejamos la \(x\) en la primera ecuación:
$$ x +y = 21 $$
$$ x = 21-y $$
Sustituimos la \(x\) en la segunda ecuación:
$$ x-y = 9 $$
$$ (21-y) - y = 9$$
$$ 21 -2y = 9 $$
$$ 2y = 21-9 $$
$$ y = \frac{12}{2} = 6$$
Calculamos la otra incógnita:
$$ x = 21-y $$
$$ x = 21-6 $$
$$ x = 15 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& 15 \\
y & =& 6
\end{cases}$$
Por tanto, los números cuya suma es \(21\) y cuya resta es \(9\) son \(15\) y \(6\).
F. Problema 2
El perímetro de un rectángulo es \(18cm\) y su altura mide el doble que su base. ¿Cuánto mide su altura?
1. Identificamos las incógnitas
Llamaremos \(x\) a la base e \(y\) a la altura.
2. Obtenemos las dos ecuaciones
Como la altura mide el doble que la base, \( y = 2\cdot x\).
El perímetro del rectángulo es 18:
$$ x+x+y+y = 18 $$
Es decir,
$$ 2x+2y = 18 $$
3. Resolvemos el sistema por sustitución:
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases}
y& =& 2x \\
2x+2y & =& 18
\end{cases}$$
Ya tenemos despejada la \(y\) en la primera ecuación. La sustituimos en la segunda:
$$ 2x+2y = 18 $$
$$ 2x+2\cdot (2x) = 18$$
$$ 2x+4x = 18 $$
$$ 6x = 18 $$
El \(6\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ x = \frac{18}{6}$$
$$ x = 3 $$
Calculamos la otra incógnita:
$$ y = 2x $$
$$ y = 2\cdot 3 $$
$$ y = 6 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& 3 \\
y & =&6
\end{cases}$$
Por tanto, la altura del rectángulo mide \(6cm\).
G. Problema 3
La edad de Laura es el triple que la de su hija y sus edades suman \(68\). ¿Qué edad tiene Laura?
1. Identificamos las incógnitas
Llamamos \(x\) a la edad de Laura e \(y\) a la edad de su hija.
2. Obtenemos las dos ecuaciones
La edad de Laura es el doble:
$$ x = 3\cdot y$$
La suma de las edades es \(68\):
$$ x+y = 68 $$
3. Resolvemos el sistema por sustitución:
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases}
x& =& 3y \\
x+y & =& 68
\end{cases}$$
Ya tenemos despejada la \(x\) en la primera ecuación. La sustituimos en la segunda:
$$ x+y = 68 $$
$$ 3y +y = 68 $$
$$ 4y = 68 $$
El coeficiente \(4\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ y = \frac{68}{4} $$
$$ y = 17 $$
Calculamos la otra incógnita:
$$ x = 3\cdot x $$
$$ x = 3\cdot 17 $$
$$ x = 51 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases}
x & =& 51\\
y & =& 17
\end{cases}$$
Por tanto, la edad de Laura es \(51\).
Ecuaciones Resueltas ©