Sistemas de ecuaciones lineales

Nivel 1: Método de sustitución



Introducción


En este nivel vamos a explicar el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones lieanes. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,

$$\begin{cases} x+y & =& 2 \\ x+2y & =& 0 \end{cases}$$

Para terminar, resolveremos 3 problemas de aplicación.

A. Recordatorio


Sobre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Ver

B. Método de sustitución




Normalmente, elegimos este método cuando es fácil despejar alguna de las incógnitas en alguna de las ecuaciones.

Explicaremos los pasos mientras resolvemos el sistema

$$\begin{cases} 3x-y & =& 0 \\ 5x-2y & =& -1 \end{cases}$$

Primer paso:

Elegimos una de las incógnitas.

Nosotros elegimos la \(y\).

Segundo paso:

Despejamos dicha incógnita en una de las ecuaciones.

Nosotros despejamos la \(y\) en la primera ecuación:

$$ 3x -y = 0 $$

$$ 3x = y $$

Tercer paso:

Sustituimos la incógnita despejada en la otra ecuación.

En lugar de \(y\), escribimos \(3x\) en la segunda ecuación:

$$ 5x -2y = -1$$

$$ 5x -2\cdot (3x) = -1 $$

Cuarto paso:

Resolvemos la ecuación de primer grado.

$$ 5x -2\cdot (3x) = -1 $$

$$ 5x -6x = -1 $$

$$ -x = -1 $$

$$ x = 1 $$

Quinto paso:

Calculamos la otra incógnita sustituyendo la incógnita obtenida.

Sustituimos \(x = 1\) en la ecuación \(y = 3x\):

$$ y = 3x $$

$$ y = 3\cdot 1 $$

$$ y = 3 $$

Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& 1 \\ y & =& 3 \end{cases}$$

C. Sistema 1




$$\begin{cases} x-y & =& 0 \\ x+5y & =& 30 \end{cases}$$

Solución

D. Sistema 2


$$\begin{cases} 2x+5y & =& 3 \\ 8x-10y & =& 0 \end{cases}$$

Solución

Problemas de aplicación


Para resolver los problemas, tenemos que seguir los siguientes pasos:

  1. Identificar las incógnitas (serán \(x\) e \(y\))

  2. Obtener las dos ecuaciones

  3. Resolver el sistema (por sustitución)

E. Problema 1


Hallar dos números cuya suma sea \(21\) y su resta sea \(9\).

Solución

F. Problema 2


El perímetro de un rectángulo es \(18cm\) y su altura mide el doble que su base. ¿Cuánto mide su altura?

Solución

G. Problema 3


La edad de Laura es el triple que la de su hija y sus edades suman \(68\). ¿Qué edad tiene Laura?

Solución



Ecuaciones Resueltas ©

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