Sistemas de ecuaciones lineales

Nivel 2: Método de igualación



Introducción


En este nivel vamos a explicar el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,

$$\begin{cases} x-y & =& 1 \\ x+y & =& 5 \end{cases}$$

Finalmente, resolveremos 3 problemas de aplicación.

A. Método de igualación




Normalmente, elegimos este método cuando es fácil despejar alguna de las incógnitas en las dos ecuaciones.

Explicaremos el método mientras resolvemos el sistema

$$\begin{cases} 3x+y & =& -4 \\ 2x+y & =& -1 \end{cases}$$

Primer paso:

Escogemos una de las dos incógnitas para despejarla en ambas ecuaciones.

Nosotros escogemos la \(y\) porque tiene coeficiente \(1\).

Segundo paso:

Despejamos la incógnita en ambas ecuaciones.

Despejamos la \(y\) en la primera ecuación:

$$ 3x +y = -4 $$

$$ y = -4 -3x $$

Despejamos la \(y\) en la segunda ecuación:

$$ 2x +y = -1 $$

$$ y = -1 -2x $$

Tercer paso:

Igualamos la incógnita despejada.

Por un lado, tenemos \(y = -4-3x\) y, por otro, \(y = -1-2x\). Como \(y = y\), entonces

$$ -4 -3x = -1-2x $$

Cuarto paso:

Resolvemos la ecuación lineal obtenida.

$$ -4 -3x = -1 -2x $$

$$ -4 +1 = -2x +3x $$

$$ -3 = x $$

Quinto paso:

Calculamos la otra incógnita.

Como sabemos que \(x = -3\), sustituimos su valor para calcular \(y\):

$$ y = -4-3x $$

$$ y = -4-3\cdot (-3)$$

$$ y = -4+9$$

$$ y = 5 $$

Por tanto, la solución del sistema es

$$\begin{cases} x & =& -3 \\ y & =& 5 \end{cases}$$

B. Sistema 1




$$\begin{cases} x-y & =& -3 \\ x+2y & =& 6 \end{cases}$$

Solución

C. Sistema 2


$$\begin{cases} x-4y & =& 0 \\ x+2y & =& 3 \end{cases}$$

Solución

Problemas de aplicación


Para resolver los problemas, tenemos que seguir los siguientes pasos:

  1. Identificar las incógnitas (serán \(x\) e \(y\))

  2. Obtener las dos ecuaciones

  3. Resolver el sistema (por igualación)

D. Problema 1


Hallar dos números cuya suma sea \(23\) y cuya resta sea \(1\).

Solución

E. Problema 2


La suma de las dos cifras de un número es \(8\) y la segunda cifra es el triple de la primera. ¿Qué número es?

Solución

F. Problema 3


En España, el precio de los maracuyás es \(12€/kg\) y el de las guayabas es \(13€/kg\). Hemos pagado \(9.9€\) por una bolsa de \(0.8kg\) de estos frutos.

¿Qué cantidad de cada fruto hay en la bolsa?

Solución



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