En este nivel vamos a explicar el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resolveremos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (\(x\) y \(y\)) como, por ejemplo,
Finalmente, resolveremos 3 problemas de aplicación.
Normalmente, elegimos este método cuando es fácil despejar alguna de las incógnitas en las dos ecuaciones.
Explicaremos el método mientras resolvemos el sistema
$$\begin{cases} 3x+y & =& -4 \\ 2x+y & =& -1 \end{cases}$$
Nosotros escogemos la \(y\) porque tiene coeficiente \(1\).
Despejamos la \(y\) en la primera ecuación:
$$ 3x +y = -4 $$
$$ y = -4 -3x $$
Despejamos la \(y\) en la segunda ecuación:
$$ 2x +y = -1 $$
$$ y = -1 -2x $$
Por un lado, tenemos \(y = -4-3x\) y, por otro, \(y = -1-2x\). Como \(y = y\), entonces
$$ -4 -3x = -1-2x $$
$$ -4 -3x = -1 -2x $$
$$ -4 +1 = -2x +3x $$
$$ -3 = x $$
Como sabemos que \(x = -3\), sustituimos su valor para calcular \(y\):
$$ y = -4-3x $$
$$ y = -4-3\cdot (-3)$$
$$ y = -4+9$$
$$ y = 5 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& -3 \\ y & =& 5 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-y & =& -3 \\ x+2y & =& 6 \end{cases}$$
Despejamos la incógnita \(x\) en la primera ecuación:
$$ x-y = -3 $$
$$ x = -3+y $$
Despejamos la incógnita \(x\) en la segunda ecuación:
$$ x+2y = 6$$
$$ x= 6-2y $$
Igualamos las expresiones:
$$ -3+y = 6-2y$$
Resolvemos la ecuación:
$$ -3+y = 6-2y$$
$$ y +2y = 6+3 $$
$$ 3y = 9 $$
El coeficiente \(3\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ y = \frac{9}{3} $$
$$ y = 3 $$
Calculamos la otra incógnita:
$$ x = -3+y $$
$$ x = -3+3 $$
$$ x = 0 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 0 \\ y & =& 3 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-4y & =& 0 \\ x+2y & =& 3 \end{cases}$$
Despejamos la incógnita \(x\) en la primera ecuación:
$$ x-4y = 0 $$
$$ x = 4y $$
Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:
$$ x+2y = 3 $$
$$ x = 3-2y $$
Igualamos las expresiones:
$$ 4y = 3-2y $$
$$ 4y+2y = 3 $$
$$ 6y = 3 $$
El coeficiente \(6\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ y = \frac{3}{6} $$
Simplificamos la fracción:
$$ y = \frac{1}{2} $$
Calculamos la otra incógnita:
$$ x = 4y $$
$$ x = 4\cdot \frac{1}{2} $$
$$ x = 2 $$
Por tanto, la solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 2 \\ y & =& \frac{1}{2} \end{cases}$$
Para resolver los problemas, tenemos que seguir los siguientes pasos:
Identificar las incógnitas (serán \(x\) e \(y\))
Obtener las dos ecuaciones
Resolver el sistema (por igualación)
Hallar dos números cuya suma sea \(23\) y cuya resta sea \(1\).
Las incógnitas \(x\) e \(y\) son los números que buscamos.
La suma de los números es \(23\):
$$ x+y = 23 $$
La resta de los números es \(1\):
$$ x-y = 1 $$
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases} x+y & =& 23 \\ x-y & =& 1 \end{cases}$$
Despejamos la \(x\) en ambas ecuaciones:
$$ x = 23-y $$
$$ x = 1+y $$
Igualamos las expresiones:
$$ 23-y = 1+y $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 23 -1 = y+y $$
$$ 22 = 2y $$
El coeficiente \(2\) pasa dividiendo al otro lado:
$$ y = \frac{22}{2} $$
$$ y = 11 $$
Calculamos la otra incógnita:
$$ x = 23-y $$
$$ x = 23-11$$
$$ x = 12 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 12 \\ y & =& 11 \end{cases}$$
Por tanto, los números cuya suma es \(23\) y cuya resta es \(1\) son \(12\) y \(11\).
La suma de las dos cifras de un número es \(8\) y la segunda cifra es el triple de la primera. ¿Qué número es?
Llamamos \(x\) a la primera cifra e \(y\) a la segunda.
La suma de las cifras es \(8\):
$$ x+y = 8 $$
La segunda cifra es el triple de la primera:
$$ y = 3x $$
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases} x+y & =& 8 \\ y & =& 3x \end{cases}$$
Despejamos la \(y\) en la primera ecuación:
$$ y = 8-x $$
Igualamos las expresiones:
$$ 8-x = 3x $$
Resolvemos la ecuación:
$$ 8 = 3x+x $$
$$ 8 = 4x $$
El coeficiente \(4\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{8}{4} $$
$$ x = 2 $$
Calculamos la incógnita \(y\):
$$ y = 3x $$
$$ y = 3\cdot 2 $$
$$ y = 6 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 2 \\ y & =& 6 \end{cases}$$
Por tanto, el número que buscamos es \(26\).
En España, el precio de los maracuyás es \(12€/kg\) y el de las guayabas es \(13€/kg\). Hemos pagado \(9.9€\) por una bolsa de \(0.8kg\) de estos frutos.
¿Qué cantidad de cada fruto hay en la bolsa?
Llamamos \(x\) a la cantidad de maracuyás (en kg) e \(y\) a la cantidad de guayabas (en kg).
El peso de la bolsa es \(0.8kg\):
$$ x+y = 0.8 $$
El coste de la bolsa es \(9.9€\):
$$ 12x + 13y = 9.9 $$
El sistema que tenemos es
$$\begin{cases} x+y & =& 0.8 \\ 12x + 13y & =& 9.9 \end{cases}$$
Despejamos la incógnita \(x\) en la primera ecuación:
$$ x = 0.8 -y $$
Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:
$$ 12x = 9.9 -13y $$
El coeficiente \(12\) pasa al otro lado dividiendo:
$$ x = \frac{9.9-13y}{12} $$
Igualamos las expresiones:
$$ 0.8 -y = \frac{9.9-13y}{12} $$
El denominador \(12\) pasa al otro lado multiplicando:
$$ 12\cdot (0.8 -y ) = 9.9 -13y $$
$$ 9.6 - 12y = 9.9 -13y $$
$$ 13y -12y = 9.9 - 9.6 $$
$$ y = 0.3 $$
Calculamos la \(x\):
$$ x = 0.8 -y $$
$$ x = 0.8 - 0.3 $$
$$ x = 0.5 $$
La solución del sistema es
$$\begin{cases} x & =& 0.5 \\ y & =& 0.3 \end{cases}$$
Por tanto, en la bolsa hay \(0.5kg\) de maracuyás y \(0.3kg\) de guayabas.
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